XI JORNADA DIDÁCTICA MATEMÀTICA D'ABEAM El treball per projectes a l’ESO i el desenvolupament de competències matemàtiques Facultat de Matemàtiques i Estadística 8 de novembre del 2008 Manel Sol Puig IES Vilatzara (Vilassar de Mar)

La foto mostra les petjades d'un home caminant. La longitud del pas P és la distància entre els extrems posteriors de dues petjades consecutives. Pels homes, la fórmula n/P= 140 dóna una relació aproximada entre n i P a on: n= nombre de pasos per minut i P= longitud del pas en metres.

Si s'aplica la fórmula a la manera de caminar de l'Enric i aquest fa 70 pasos per minut, quina és la longitud del pas d'Enric? Mostra els teus cálculs.

La solució és senzilla es tracta de resoldre l'equació 70/x=140 a on és trivial que x=0,5

Problema plantejat en les proves PISA de 2003 En el conjunt dels països de la OCDE només ho resolgueren correctament el 36,3% dels alumnes de 15 anys En Espanya: el 38,4%

Algunes reflexions: ¿Aceptem, simplement, que dues terceres parts de la població no sàpiga resoldre aquest problema? L’origen d’aquesta dificultat, ¿es troba en que s’han resolt poques equacions en l’ESO?

És que a les nostres classes hem dedicat poc temps a la resolució d’equacions? ¿Què creieu que hagués passat si el que es demana és la solució a l’equació 70/x = 140 ? (Podeu provar-ho i veiem el que passa)

O és que els nostres alumnes no saben aplicar els seus coneixements en situacions diferents de les situacions en què els han après? Per què no els saben aplicar? La funcionalitat dels aprenentatges no és una conseqüència automàtica després dels seu assoliment sinó que s’ha d’ensenyar.

A la cimera de Lisboa del 2000 la UE va començar a treballar per establir un marc europeu de les polítiques educatives. El 26 de setembre de 2006 el Parlament Europeu i el Consell de la UE van aprovar una recomanació adreçada a tots els membres intitulada Competències clau per a l’aprenentatge permanent, un marc de referència europeu.

Competència: S’enten per competència la capacitat d’utilitzar els coneixements i habilitats, de manera transversal i interactiva, en contextos i situacions que requereixen la intervenció de coneixements vinculats a diferents sabers, ….. Article 7 Decret 143/2007

No crec que es tracti d’una moda efimera sinó que apareixen en l’àmbit educatiu per promoure canvis profunds en l’educació matemàtica que afecten a: A les activitats d’aula i les seves metodologies La gestió d’aula que realitza el professorat. A l’avaluació Als continguts i programacions A l’organització de centres.

Les activitats que volem a l’aula: Quines són? A on són? Com reconec el seu interès educatiu? Com les porto a l’aula? Amb les activitats dels llibres de text hem aconseguit que els alumnes adquireixin determinats coneixements Però no són suficients com per aprendre a fer-los servir d’una manera competent en diferents stuacions reals. Per tant què ens falta?

El projecte és una activitat de modelització Es basen en situacions reals. Es plantegen qüestions com per exemple optimitzar el canvi de marxes de la bici Traslladen el món real al món matemàtic seguint un procés de matematització Comuniquen els seus resultats oralment Comuniquen oralment els resultats Treballen en grup i consulten al professor. Formulen el problema matemàtic. Revisen el treball realitzat Escriuen un informe amb les seves solucions i conclusions Preparen les seves estratègies i recullen dades per solucionar el problema Interpreten les solucions i les traslladen al món real

Caracterització dels projectes Llarga duració En grup Alumnat protagonista Obert “Superproblema” Modelitza Activitat de llarga duració que es realitza una part a l’aula i una altra a fora de l’aula. La realitza en grup L’alumnat té un gran protagonisme, pren decisions per a concretar els problemes qyue es plantegen i per decidir com el resoldran quin abast li donaran i quan decidiran que el donen per acabat. Són activitats obertes, alguns li diuen que estan mal definits. No queda clar que es demana, ni a partir de qujnes dades És un superproblema en el sentit que li dona Friedlander ja que és un conglomerat de preguntes, plantejades en un entorn realístic, amb complexitat creixent, convida a l’alumne a buscar procesos i patrons.

Com reconec el seu interès educatiu? Si fa als alumnes més competents La primera resposta és correcta però no ens ajuda res a la nostra feina. Necessitem poder respondre a la segona preguntaCom reconec la competència dels alumnes? Intentaré fer alguna aportació. Com reconec la competència matemàtica dels alumnes?

Pensar i raonar matemàticament Resolució de problemes Comunicació Assolir la competència matemàtica implica: Pensar i raonar matemàticament Pensar matemàticament. Raonar matemàticament. Plantejar-se i resoldre problemes. Utilitzar les tècniques matemàtiques bàsiques. Obtenir, interpretar i generar informació amb contingut matemàtic. Interpretar i representar ( através de paraules gràfics, símbols, nombres i materials) expressions, processos i resultats matemàtics. Comunicar als altres el treball i els descobriments tant oralment com per escrit. Resolució de problemes Comunicació

Competència matemàtica Pensament i raonament mat. Plant. i resolució de problemes Comunicació Formular qüestions Extendre conceptes, Generalitzar resultats Comprendre i manipular limitacions i abast d’elements matemàtics. Exemplificar Comparar . Conjecturar Justificar Verificar Refutar Classificar Reconèixer situacions problemàtiques de la realitat abordables matemàticament. Plantejar problemes a partir d’una situació. Adoptar un model associat a una situació Seleccionar variables d’una situació. Interpretar resultats Construir models Representació d’objectes matemàtics. Interpretació de les diferents representacions Decodificar formalismes Ús de registres diferenciats. Aplicar i explicitar procesos i tècniques Fer argumentacions Ús d’eines i recursos Podem entendre que ensenyar matemàtiques es desenvolupar aquestes competències (en el decret li diuen processos).

Reconèix situacions problemàtiques de la realitat En aquest fragment del projecte, quins elements de les tres columnes anteriors hi podem reconèixer? Reconèix situacions problemàtiques de la realitat abordables matemàticament. Formula qüestions / Planteja problemes

Adopta un model i l’interpreta Selecciona variables Resol el problema

Representació i interpretació d’objectes matemàtics

Comparació Ús de diferents registres

“Les capacitats que potencia el currículum de Més competències: “Les capacitats que potencia el currículum de matemàtiques han d’ajudar l’alumnat a: ……. Modelitzar situacions de la vida real i vinculades a d’altres àrees del coneixement i traduir-les a models matemàtics.” Decret 143/2007 Ordenació ESO

Hi ha un consens general entre professors i investigadors en considerar la modelització matemàtica com un aspecte important de l’educació matemàtica. Es considera que és una competència d’alt nivell. Aguns investigadors emfatitzen que es fa necessàri el seu estudi, en especial la modelització dels sistemes complexos de la vida real, des dels primers nivells de l’ensenyament.

Altres arriben a l’apologia, com per exemple: És més útil saber com matematitzar que saber moltes matemàtiques. Els professors es beneficiarien mirant la seva tasca en termes d’ensenyar als seus estudiants a matematitzar més que ensenyar-lis alguna cosa de matemàtiques. (D. Wheeler, 1982)

Durant molt de temps han existit algunes creences entre el professorat sobre les activitats de modelització: Estan reservades al nivell niversitari. Només les poden fer els bons alumnes.

La realitat és que actualment les activitats d’aplicació i modelització juguen un paper molt minoritari a l’ensenyament de les matemàtiques. (Kaiser i Maaβ, 2006)

La competència modelitzadora es refereix a les habilitats i capacitats per a portar a terme el procés de modelització així com la voluntad decidida d’aplicar-ho. (K. Maaβ, 2006)

Cicle de modelització Món matemàtic Món metafòric Món real Formulació del problema matemàtic Plantejament del problema Construir un model Comparar amb la situació real Interpretar la solució Trobar una solució matemàtica Escriure un informe amb les solucions i conclusions

Anàlisi cicle modelització projecte “Les motxilles” Món matemàtic Món real Món metafòric 2 1 Formulació del problema matemàtic Plantejament del problema Construir un model 7 6 12 5 8 11 3 Comparar amb la situació real Interpretar la solució Trobar una solució matemàtica 14 4 13 10 9 15 Escriure un informe amb les solucions i conclusions

Aspectes metodològics en la realització de projectes

Estratègies per començar Suggerir temes, però respectar un principi: Acceptar totes les propostes Guerra de les Galaxies El Manga La discoteca Gimnàstica artística La bicicleta Un consell: Parlar amb els alumnes

Estratègies per començar Suport del professorat Treball grup Pluja d’idees Identificar variables rellevants Reconèixer relacions Formular qüestions clau Construir un model real Cal generar idees , seleccionar-les per després desenvolupar-les. La relativa importància i dificultad d’aquestes activitats no està ben compresa. No cal que siguin les definitives, han de ser senzilles i lògiques. Han de servir per iniciar els primers passos del treball. Amb el temps es podran refinar Plantejar el/els problema/es

Estratègies per començar

Estratègies per començar

El desenvolupament Recollir i organitzar informació Seleccionar variables i paràmetres importants, acotar rang de valors o bé fixar-los. Relacionar objectes reals i matemàtiques El més difícil per l’alumnat és posar ordre a la caòtica colecció de impresions, idees, dades, mesures, càlculs etc. Al llarg del procés el professorat fa un seguiment per assegurar que l’alumnat no es quedat atascat. Es fa l’entrevista de seguiment

El desenvolupament Simplificar la situació Reconèixer les relacions i expressar-les matemàticament Construir un model Plantejar i resoldre el/els problema/es

El desenvolupament Si l’alumne s’atasca: Buscar més informacions Simplificar el model sobre el que es treballa

La fase final Interpretar les solucions trobades Validar-les en el plantejament inicial. Modificació del model Plantejament de nous problemes i repetició del procés Comunicar els resultats oralment i per escrit

Temporalització Definició del problema Desenvolupament Final 2/3 setmanes 2/3 setmanes 2 setmanes Entrevista de seguiment

El professorat i els projectes El suport del professorat és: Assegurar que els alumnes no es bloquegin Fer un control “delicat” seleccionant les bones idees que li presenten i qüestionant les que no són tan bones. Ha d’haver complicitat i confiança. Donar la màxima llibertat a l’alumnat sense deixar que quedin atascats. Quan els alumnes es troben atascats es poden ajudar de dues maneres: Rebaixar el nivell d’abstracció, si no pot treure un enunciat general que provi a resoldre un cas particular, si l’àlgebra resulta massa difícil que faci servir l’aritmètica o un gràfic o un model físic. Obtenir més informació sobre la situació, inclús si el model no els ajuda a comprendre cap a on van, probablement els suggerirà informació que els pugui ajudar.

Canvis de rol El professorat: No ho sap tot Seguir als alumnes Observar i actuar amb sentit comú L’alumne: No controla la situació completament, inicialment no sap quin és el camí a seguir per a realitzar amb éxit el procés. Es situa junt amb l’alumne per a generar coneixement i pensar conjuntament amb l’alumne. Ha de tenir autoconfiança perquè no pot estar molt de temps atascat o equivocat. Ha de seguir els els pensaments dels alumnes de vegades de dubtosa validesa, suggerint millores amb suavitat Ha d’observar i actuar amb lògica per a decidir el que és acertat i el que no ho és en la formulació i validació de models L’alumne és el gran protagonista, pren decisions que afecten a la definició de l’activitat, durant el procés i al final e com tancar-lo, dobre l’abast que li dóna. Autònom Pren decisions

FI Moltes gràcies per la vostra atenció