Prof. Dr. Ricardo Cantoral DME – Cinvestav M É X I C O Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa: De los conceptos a las prácticas. Chivilcoy, 12 SEM Prof. Dr. Ricardo Cantoral DME – Cinvestav M É X I C O

Escuela de Pensamiento Entendemos que una escuela de pensamiento está en curso de constitución, cuando un colectivo humano acepta compartir y dialogar sobre los significados, usos y explicaciones de las nociones, conceptos, procedimientos, marcos, racionalidades y sistemas de validación.

Escuela Socioepistemológica La teoría que será abordada en esta conferencia, plantea el problema de la construcción social del conocimiento matemático y de su difusión institucional: TSE A la cuestión teórica general de cómo construimos nuestros sistemas conceptuales, la Socioepistemología contesta en tres planos…

Socioepistemología: Primer plano Trata sobre la naturaleza misma del saber. Su análisis no se limita, en esta perspectiva, a definir la relación que este guarda con los objetos y sus representaciones, sino a posicionar al ser humano – en sus distintas dimensiones – en el acto mismo de construcción de sí mismo como ser social, su entorno, sus sistemas conceptuales y su realidad. AH.

Socioepistemología: Segundo plano Se ocupa de la práctica social como normativa de la actividad humana y como base de la construcción de nuestros sistemas conceptuales. Hablar de práctica social no se limita a caracterizar lo que el ser humano hace, sino a problematizar las causas del por qué lo hace… ¿Qué me/nos hace hacer lo que hago/hacemos…?

Socioepistemología: Tercer plano El plano teórico articula nociones con evidencia empírica, situándola en escenarios socioculturales a fin de explicar e intervenir la realidad: Actividad humana, práctica, práxis, práctica de referencia, práctica social (PS), discurso matemático escolar; funciones: normativa, pragmática, reflexiva e identitaria de la PS. Proceso de institucionalización o epistemología de prácticas…

Las navajas no hacen a la tijera. P Freire

Socioepistemología Aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los fenómenos de construcción y de difusión institucional del conocimiento desde una perspectiva social, al estudiar las interacciones entre epistemología del conocimiento, con su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos de institucionalización vía su enseñanza.

Estructura del acercamiento metodológico Cognitiva Social Socioepistemología Actividad humana S O Epistemológica Didáctica

Postura socioepistemológica Tradicionalmente, las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento es el resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias empíricas, ignorando el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales desempeñan en la actividad humana al momento de producir un conocimiento. La socioepistemología por su parte, plantea el examen del conocimiento social, histórica y culturalmente situado.

Postura socioepistemológica El carácter situado de la socioepistemología… obliga, a la aproximación teórica, al empleo de un relativismo permanente. Pues sus procesos, nociones, constructos, enfoques, resultados, procedimientos y técnicas serán: situados, intencionales y relativos, en ese sentido serán, invariablemente … normados por emergentes sociales

Esta aproximación teórica ... está en pleno de desarrollo por parte del grupo internacional de investigación que se agrupa en torno del DME - Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN en México. Dicho acercamiento incorpora, de manera sistémica y relativista, cuatro componentes con el fin de desarrollar el pensamientos matemático de los ciudadanos.

Cultura matemática En el marco del proyecto PISA se entiende la cultura matemática como la aptitud de un individuo para identificar y comprender los roles diversos que juega la matemática en el mundo, para construir juicios fundados para sus propios propósitos y para involucrarse en actividades matemáticas en función de las exigencias de su vida presente y futura en tanto que ciudadano constructivo y reflexivo.

Género y niveles de logro

Niveles de logro, primaria

Sistema didáctico contextual Contexto social. Institucional, histórica y culturalmente situado p a s

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La distancia inaccesible « A para P »

Índice Cinutura / Cadera IMSS - México ICC 0.8 Una mujer que tenga 86 cm de circunferencia de la cintura en su menor diámetro y 86 cm medida en las caderas, ¿está fuera del rango deseable? ICC 1.0 Un hombre que tenga 96 cm de circunferencia de la cintura en su menor diámetro y 96 cm medida en las caderas, ¿está fuera del rango deseable?

Proporcionalidad – la vara Construcción social de la inclinación Construcción de vivienda

Socioepistemología 80’s (Reyes, 2012) dME Atomización de los conceptos Carácter hegemónico Conocimiento acabado y continuo Falta de marcos de referencia para la resignificación Carácter utilitario (Soto,2010)

Objetivo socioepistemológico Discurso Matemático Escolar Rediseño del dME

Conocimiento puesto en uso Modelo del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica. Se entiende como un proceso de adquisición progresiva del significado en contextos específicos (Espinoza Ramírez, 2009, p.20) ¿Este cambio de visión puede generarse de manera autónoma e individual por parte de los docentes? Conocimiento puesto en uso Lo que emerge como respuesta a un problema real del cual no se conocía su respuesta originalmente “El aprendizaje, la significación, la racionalidad y el conocimiento son situados a cierto contexto” (Espinoza Ramírez, 2009, p. 167) La construcción del conocimiento es un producto sociocultural, es decir, “representativo de la sociedad en la que se gesta ” (Crespo, 2009, p. 38) (Reyes, 2011)

Problematización del saber Análisis Dimensión epistemológica -naturaleza- Dimensión cognitiva -apropiación- Dimensión didáctica -difusión- Dimensión social -uso-

Objeto matemático: la Proporcionalidad Relación funcional Regla de tres simple Tabla de valores Gráfica x y 𝑥 1 𝑦 1 y 𝑅 (𝑥,𝑦) 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 2 . 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑘. 𝑥 1 𝑦=𝑘𝑥 𝑥 2 𝑘. 𝑥 2 Coloquial - cualitativo . . x “a más-más, a menos-menos” 𝑦 2 𝑥 𝑛 𝑘. 𝑥 𝑛 Razón proporcional 𝑦 3 𝑦 4 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 =𝑘, para todo i, 𝑥 𝑖 ≠0

Proporcionalidad Dimensión Epistemológica Euclides (1991) Def. 6: Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales. Def. 3: Razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad. CUANDO SE MANTIENE LA MISMA RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES

Proporcionalidad Dimensión cognitiva Según Piaget e Inhelder (1972): “Se observa a menudo en los sujetos del subestadio II B la búsqueda de una relación en el interior de dos relaciones que se comparan entre sí, pero se concibe que la naturaleza de la relación es aditiva: en vez de la proporción P/ P´ = L´/ L, se tiene entonces una igualdad de diferencias P – P´= L´– L. La formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos PL = P´L´. (…) Por lo general la cuantificación numérica de la proporción se halla precedida por un esquema cualitativo fundado en la noción de producto lógico.”

Dimensión cognitiva Asumimos que la cognición como: “la capacidad de “hacer emerger” el significado a partir de realimentaciones sucesivas entre el humano y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural, a partir de una interacción “dialéctica” entre protagonistas.” Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez-Sierra (2006)

Proporcionalidad Modelos de pensamiento Carretero (1989) Vergnaud (1990) Martínez y González (2008)

Dimensión didáctica a más… más, a menos… menos Relación entre magnitudes homogéneas (Modelo inter) Fractal 1. (Block & García, 2009, p. 47) a más… más, a menos… menos (Modelo cualitativo) Logikamente (Pisano, 2011, p. 2) Relación entre magnitudes heterogéneas (Modelo intra) Mac Graw Hill (Cantoral et al., 2008, p. 39)

Dimensión didáctica Es uno de los temas transversales de la educación básica. Distintas investigaciones, con base en cursos, talleres y maestrías referentes a este tema reportan que: Los profesores tienen obstáculos epistemológicos y didácticos referidos al tema matemático (Salazar & Díaz, 2009) -Chile- “A pesar de haber avanzado mucho como maestro (…) no me resultaría sencillo enseñar, sobre los nuevos fundamentos didácticos” (Valdemoros, 2010, p. 223) -México- “Si bien, en general, acuerdan con los marcos teóricos trabajados, se observa que difícilmente esto redunde en un cambio de práctica en las aulas” (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1052) -Argentina- Es importante destacar, que en todos los casos, los cursos correspondían a diseñar actividades que facilitaran la comprensión del tema de proporcionalidad.

Dimensión Social Construcción del conocimiento matemático

Análisis de la práctica docente Episodio 1: primer año, curso D, 06/06/11 Santiago: “A medida que amentaba la cantidad de kilos, aumentaba el precio… se mantiene constante los 13 pesos…” Modelo cualitativo Modelo aditivo Para dar ejemplos de lo que era proporcionalidad él usa esto

Análisis de la práctica docente Actividad 1:

Análisis de la práctica docente Episodio 4: primer año, curso C, 07/06/11 [16] P 20 y 50. Ordenada, pónganle aquí, ordenadas, ¿qué letra llevaría? [17] todos La y [18] La y 50. y 50 [19] y igual a 50 [20] ¿Y la x? Abajo. Ok. [21] Pregunta ¿con esos dos valores podemos encontrar una proporcionalidad? [22] ¡E4!, ¿sí?, ¿cómo? [23] E4 Aumentando… [24] ¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x valga 20, que la x valga 40? [16] P 20 y 50. Ordenada, pónganle aquí, ordenadas, ¿qué letra llevaría? [17] todos La y [18] La y 50. y 50 [19] y igual a 50 [20] ¿Y la x? Abajo. Ok. [21] Pregunta ¿con esos dos valores podemos encontrar una proporcionalidad? [22] ¡E4!, ¿sí?, ¿cómo? [23] E4 Aumentando… [24] ¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x valga 20, que la x valga 40? Modelo multiplicativo

Análisis de la práctica docente Actividad 2:

Análisis de la práctica docente Episodio 5: primer año, curso C, 07/06/11 [220]  P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] Representa la constante de proporcionalidad [225] ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] Porque 240 entre 3 es 80 [227] Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] El valor de una hora. Ponle, una hora por favor [220]  P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] Representa la constante de proporcionalidad [225] ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] Porque 240 entre 3 es 80 [227] Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] El valor de una hora. Ponle, una hora por favor [220]  P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] Representa la constante de proporcionalidad [225] ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] Porque 240 entre 3 es 80 [227] Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] El valor de una hora. Ponle, una hora por favor [220]  P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] Representa la constante de proporcionalidad [225] ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] Porque 240 entre 3 es 80 [227] Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] El valor de una hora. Ponle, una hora por favor [220]  P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] Representa la constante de proporcionalidad [225] ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] Porque 240 entre 3 es 80 [227] Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] El valor de una hora. Ponle, una hora por favor Modelo intra no reconocido por el docente Reducción a la unidad

Reflexionando sobre la Proporcionalidad

Análisis de la práctica docente Episodio 6: problematización del saber con Santiago, 08/06/11

Análisis de la práctica docente Episodio 7: primer año, curso A, 08/06/11 [38] P El de 120, ¿cómo le sacaste el de 120? [39] E2 Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240 [40] ¿Cuál es tres veces más que el 240? [41] 720 [42] A ver… en 240, perdón, en 720 es tres veces más que en 240. ¿Estamos bien? [43] Sí [38] P El de 120, ¿cómo le sacaste el de 120? [39] E2 Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240 [40] ¿Cuál es tres veces más que el 240? [41] 720 [42] A ver… en 240, perdón, en 720 es tres veces más que en 240. ¿Estamos bien? [43] Sí

reconocido y potenciado Episodio 7: primer año, curso A, 08/06/11 [57] P Ok. Pero el 240 ¿a qué tiempo corresponde? [58]   Ahí está en la tabla. [59] ¿A cuántas horas el 240 corresponde? [60] E2 A 3 [61] A 3 horas… y si tú me estás diciendo que el valor de 480 efectivamente es el doble que el de 240, la pregunta que te haría yo es ¿cuántas horas serían en 480 entre la distancia, en el tiempo transcurrido? [62] 5 [63] ¿Por qué? Si 480 es el doble de 240 y 240 transcurre en 3 horas…? [64] ¿Sería correcto el 5? [65] todos No. [66] ¿Por qué? [67] Porque 5 no es el doble de 3. [57] P Ok. Pero el 240 ¿a qué tiempo corresponde? [58]   Ahí está en la tabla. [59] ¿A cuántas horas el 240 corresponde? [60] E2 A 3 [61] A 3 horas… y si tú me estás diciendo que el valor de 480 efectivamente es el doble que el de 240, la pregunta que te haría yo es ¿cuántas horas serían en 480 entre la distancia, en el tiempo transcurrido? [62] 5 [63] ¿Por qué? Si 480 es el doble de 240 y 240 transcurre en 3 horas…? [64] ¿Sería correcto el 5? [65] todos No. [66] ¿Por qué? [67] Porque 5 no es el doble de 3. Modelo inter reconocido y potenciado por el docente

Análisis de la práctica docente [112] P Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar? [113] E1 Con una tabla… con una gráfica… [114] A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla, encerrando a los números que E1 había colocado allí) [115]  P ¿Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la tabla ¿Del qué? [116] Del tres [117] (el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad? [118] Dividiendo [119] Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir? [120] Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9 entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3. [121] Y eso ¿qué me indicará? [122] Que es la tabla del 3 [123] Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón… [124] todos Son proporcionales [112] P Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar? [113] E1 Con una tabla… con una gráfica… [114] A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla, encerrando a los números que E1 había colocado allí) [115]  P ¿Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la tabla ¿Del qué? [116] Del tres [117] (el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad? [118] Dividiendo [119] Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir? [120] Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9 entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3. [121] Y eso ¿qué me indicará? [122] Que es la tabla del 3 [123] Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón… [124] todos Son proporcionales Análisis de la práctica docente Episodio 7: primer año, curso A, 08/06/11 Modelo intra

¿Qué ocurrió? 2. Modificación del discurso escolar del docente. 1. Incorporación de nuevos modelos del pensamiento proporcional, con base en la relación entre magnitudes, por parte del docente. Modelo cualitativo 2. Modificación del discurso escolar del docente. Modelo cualitativo Modelo aditivo Modelo aditivo Modelo multiplicativo 3. Modificación en la práctica del docente por iniciativa propia, teniendo como base una misma actividad. ¿Qué es lo que se buscó con estas observaciones? ¿De qué son resultado estos hallazgos? El modelo que se reflexiona con el docente, hace un salto a la covariación y la relación entre las magnitudes heterogéneas. Modelo intra Modelo inter Modelo multiplicativo 4. Producción de interacciones, de naturaleza dialéctica, que favorecen al pensamiento proporcional.

Edición 2011 Matemática 1

construcción social del conocimiento matemático EMPODERAMIENTO Es necesario que el docente vivencie un proceso de empoderamiento Para lograr modificaciones en su práctica y en consecuencia lograr el aprendizaje de sus estudiantes basado en la construcción social del conocimiento matemático Se presenta la TESIS Ahora bien, para comenzar, ubicaremos nuestro trabajo dentro de la línea de la Socioepistemología… (Reyes Gasperini & Cantoral, 2011a, 2011b; Reyes, 2011)

Prof. Dr. Ricardo Cantoral Cinvestav, México rcantor@cinvestav.mx www.matedu.cinvestav.mx Gracias