Problemas resueltos del Teorema Fundamental del Cálculo

Propiedades básicas de las Integrales A lo largo de todo este tema suponemos que todas las funciones son continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. Debajo, r es un número real y tanto f como g son funciones. Propiedades Básicas de las Integrales 1 2 3 4 5 Estas propiedades surgen de la definición de integral como límite de una suma de Riemann. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Tabla de Integrales Indefinidas 1 2 De forma abreviada: 3 5 4 7 6 9 8 10 10 Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Teorema Fundamental del Cálculo Si f una función continua entonces la función es una primitiva de la función f, es decir, F’(x) = f(x). Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f entonces Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Problemas 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x3 y eje X para 0  x  2. 2 Calcular el límite , interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura. 3 Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente.. 4 Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Problemas 5 6 7 Encontrar el error en el siguiente cálculo de 8 Sea f una función continua tal que Determinar f(1). 9 Calcular Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Longitud de los subintervalos. Problemas 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x3 y eje X para 0  x  2. Evaluamos x3 en el extremo derecho del subintervalo k . Solución Aproximación del área por exceso: Longitud de los subintervalos. Suma superior = Respuesta El área es 4. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Problemas 2 Calcular el límite , interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura. Solución Debemos relacionar la suma dada con una suma aproximada del área encerrada por la gráfica de una función. Se observa que: De esta manera resulta obvio que la suma aproxima el área encerrada por la gráfica de x2 para 0  x  1. Dicha área ya la hemos calculado y da como resultado 1/3. Respuesta Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Sumas de Riemann 3 Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente.. 3 Solución Los puntos de división son: {0,/10,(2)/10,(3)/10,(4)/10, /2}. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Sumas de Riemann 3 Comentarios sobre la solución Izq(5)0.8347 Med(5)1.0041 Der(5)1.1488 La función sen(x) es creciente en el intervalo de integración. Por lo tanto la suma que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior , aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central devuelve la mejor aproximación, ya que el valor exacto de la integral es 1, que es fácil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Cálculo. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Sumas de Riemann 4 Solución La suma en cuestión a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que los sumandos no son de la forma (valor de la función)×(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla. Ahora tenemos la longitud del subintervalo. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Sumas de Riemann 4 Solución La conclusión anterior fue que Hallar el valor de esta integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo es bastante complicado. Por lo tanto el valor de la integral es el área pintada en azul. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Estimación de integrales 5 Solución La integral en cuestión encierra el área de la región situada entre la curva roja y el eje X. Por lo tanto el área encerrada por debajo de la recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor de la integral. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 6 Solución La función F está definida mediante una integral cuyos límites de integración dependen de x. Esto significa que debemos modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de la cadena Mediante TFC Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 7 Encontrar el error en el siguiente cálculo de Solución Este resultado no puede ser correcto ya que la función a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la integral debería ser también positivo. Respuesta La gráfica de la función f(x)= 1/x2 puede verse en la figura de arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC. Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 8 Sea f una función continua tal que Determinar f(1). Solución Hay que derivar la ecuación dada para obtener la expresión de la función f. Usando TFC y la Regla de la Cadena. Por tanto: Por otro lado: Conclusión Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 9 Calcular Utilizando la regla de L’Hopital: Solución Utilizamos el hecho de que Por el TFC: Conclusión Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä