Problemas Resueltos del Teorema del Valor Medio

Presentación del tema: "Problemas Resueltos del Teorema del Valor Medio"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Resueltos del Teorema del Valor Medio
Corolarios del Teorema del Valor Medio Funciones Crecientes ¿Se verifica el Teorema del Valor Medio? Derivadas Crecientes Problemas resueltos Teorema del valor medio

2 El Teorema del valor medio
Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema El Teorema del valor medio gráficamente a c b El teorema también se puede escribir como f’(c) = (f(b) – f(a) )/ (b – a). Por lo tanto el Teorema del valor medio asegura que entre a y b existe un punto c tal que la tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela al segmento que une los puntos(a,f(a)) y (b,f(b)). Problemas resueltos Teorema del valor medio

3 Corolarios del Teorema del Valor Medio
1 Si f’(x) = 0 en todo su dominio, que debe ser un intervalo, entonces f es una función constante. 2 Si f’(x) > 0 para todo x exceptuando un número finito de valores de x, entonces f es creciente. 3 Si f’(x) < 0 para todo x exceptuando un número finito de valores de x, entonces f es decreciente. Problemas resueltos Teorema del valor medio

4 Problemas resueltos Teorema del valor medio
Funciones Crecientes Demostrar que la función f(x) = x + sen x es creciente en todo su dominio. Problema Solución f’(x) = 1 + cos x ≥ 0 para todo x. Además, la derivada se anula sólo si x = (2n+1), n  Z. Por lo tanto, podemos afirmar que la función f es creciente en todo su dominio. f(x) = x + sen x Problemas resueltos Teorema del valor medio

5 ¿Se verifica el Teorema del Valor Medio?
Problema Sea f(x) = x-2 . Demostrar que no existe un número c, -1 < c < 1, tal que f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1)). ¿Contradice esto el Teorema del Valor Medio? Solución Calculamos la derivada: f’(x) = -2x-3 . f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1))  1 – 1 = 2f’(c)  f’(c) = 0  -2c-3 = 0. La última ecuación no tiene ninguna solución. Por lo tanto, no existe un número c que satisfaga la condición del Teorema del Valor Medio en el intervalo (-1,1). Problemas resueltos Teorema del valor medio

6 ¿Se verifica el Teorema del Valor Medio?
Sea f(x) = x-2 . Demostrar que no existe un número c, -1 < c < 1, tal que f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1)). ¿Contradice esto el Teorema del Valor Medio? Problema Solución (cont.) La observación anterior significa que la recta tangente a la gráfica de la función f, la curva roja, no es horizontal nunca. Por lo tanto, la recta tangente nunca es paralela a la recta azul del dibujo. Esto no contradice el Teorema del Valor Medio ya que la función no está definida en x = 0. Por lo tanto, la función no satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio. Problemas resueltos Teorema del valor medio

7 Problemas resueltos Teorema del valor medio
Derivadas Crecientes Supongamos que f es derivable en el intervalo (a,b), y que f’(x) es creciente. Demostrar que la gráfica de f está siempre por encima de sus rectas tangentes. Problema Solución La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) es y – f(c) = f’(c)(x – c)  y = f’(c)x – f’(c)c + f(c). c x f(x) f’(c)x – f’(c)c + f(c) Para demostrar que la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes, tenemos que demostrar que: f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c) para todo x. Problemas resueltos Teorema del valor medio

8 Problemas resueltos Teorema del valor medio
Derivadas Crecientes Supongamos que f es derivable en el intervalo (a,b), y que f’(x) es creciente. Demostrar que la gráfica de f está siempre por encima de sus rectas tangentes. Problema Solución (cont.) Por las observaciones anteriores, la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes, para todo x, f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c)  f(x) – f(c) ≥ f’(c) (x – c). Supongamos que x > c. Por el Teorema del Valor Medio, existe un número d, c < d < x tal que f(x) – f(c) ≥ f’(d) (x – c). Como la derivada es creciente, f’(d) > f’( c). Por lo tanto, f(x) – f(c) = f’(d) (x – c) ≥ f’(c) (x – c). Esto prueba que la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes para los puntos que no son los puntos de tangencia. El mismo razonamiento se aplica para x  c. Problemas resueltos Teorema del valor medio

9 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä