Volúmenes de Sólidos.

Presentación del tema: "Volúmenes de Sólidos."— Transcripción de la presentación:

1 Volúmenes de Sólidos

2 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Sólidos de revolución Los volúmenes de estos sólidos de revolución se pueden hallar mediante integrales definidas, de la misma forma que las áreas. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

3 Aproximando Volúmenes
La figura de la derecha muestra una aproximación del área encerrada por la función f. Los rectángulos verdes son las sumas de Riemann escogiendo el punto izquierdo del intervalo. Si giramos los rectángulos verdes alrededor del eje X obtenemos la aproximación del volumen del sólido de revolución mediante cilindros. Cuánta mayor sea la aproximación de el área, mayor será, por tanto, la aproximación del volumen del sólido. Sólido a la izquierda, aproximación a la derecha. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

4 Sumas de Riemann para Volúmenes
Definición Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

5 Volúmenes como Integrales de Áreas
Esta sección se obtiene cortando el sólido con un plano perpendicular al eje X y que pase por el punto x. La sección es un disco, círculo, de radio f(x). En la figura de la derecha, la curva roja es la gráfica de la función f, siendo el eje de giro el eje X. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

6 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volúmen de una Esfera Ejemplo Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

7 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volumen de un Toro(1) Ejemplo El volumen de dicho toro se calcula de la siguiente forma: Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

8 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volúmen de un Toro(2) Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

9 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volumen de un Toro(3) Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

10 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volúmen de un Toro(4) Resumen -1 1 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

11 Sólidos de Revolución Generales
En general, un sólido de revolución se obtiene al girar una región alrededor de un eje. Los métodos anteriores se pueden aplicar en estos casos, pero los cálculos se pueden complicar mucho. Por ejemplo, consideremos el sólido de revolución obtenido girando la gráfica de la parábola y=x2 alrededor de la recta y=x. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

12 Sólidos de Revolución Generales(2)
Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

13 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Otros tipos de Sólidos Los volúmenes de otros tipos de sólidos se pueden hallar también por integración. Hay que seguir los siguientes pasos: Dividir los sólidos verticalmente, cortando por planos a lo largo de una recta que pase a través de dicho sólido. Expresar el área de las secciones obtenidas en función del punto de intersección entre la recta la sección. Integrar este área para obtener el volumen del sólido. Un ejemplo de este tipo de sólido es el “sombrero” de arriba. Es un sólido cuya base es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, y sus secciones perpendiculares al eje X son cuadrados. El volumen de este sólido se puede calcular por secciones. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

14 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes
Volumen de un sombrero Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

15 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

16 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä