Aplicaciones de la Integral

Aplicaciones de la Integral
Volúmenes Longitudes de Arco Áreas de Superficies Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.
Resumen de Fórmulas At= área de la sección Volúmenes por secciones Longitud de arco Longitud de una curva en paramétricas Área de un cuerpo de revolución Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Resumen de Fórmulas Área limitada por la gráfica de una función y el eje X. Área entre las gráficas de las funciones f(x) y g(x) Volumen de un cuerpo de revolución Volumen de un cuerpo de revolución haciendo girar el área entre dos gráficas f y g positivas alrededor del eje X Volumen por conchas Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Listado de Problemas 1/2 1 La parte inferior de un sombrero es un disco de radio r con centro en el origen. Cada intersección del sombrero con un plano perpendicular al eje x es un semicírculo. Calcular el volumen del sombrero. Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar el área que encierra la gráfica de la función f(x) = x − x2 y el eje X, sobre dicho eje. 2 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar la función del Problema2 alrededor del eje Y. 3 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje X. 4 5 Calcular el volumen de un casquete de la pelota de ecuación x2 + y2 + z2 ≤ r2 que se encuentra por encima del plano z=r − h. 6 Calcular el volumen de la intersección entre los cilíndros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Listado de Problemas 2/2 7 Determinar la longitud del arco de la gráfica de la función cosh(x) en el intervalo [-1,1]. 8 9 10 11 Calcular el área de la superficie obtenida al girar la curva y = x3, 0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje X. 12 Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 1 La parte inferior de un sombrero es un disco de radio r con centro en el origen. Cada intersección del sombrero con un plano perpendicular al eje x es un semicírculo. Calcular el volumen del sombrero. Solución Este sombrero es una semiesfera de radio r. Por lo tanto el volumen es la mitad del de una esfera de radio r Para calcular el volumen del sombrero por integración, cortamos con planos perpendiculares al eje x como se indica en la imagen. x La sección es un semicírculo de radio (r2-x2) ½. El área de dicha sección es A(x)= π(r2-x2)/2. Conclusión Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 2 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar el área que encierra la gráfica de la función f(x) = x − x2 y el eje X, sobre dicho eje Solución El dibujo muestra la función y el cuerpo de revolución. El volumen se puede calcular directamente con la fórmula. Los límites de integración se obtienen resolviendo la ecuación x – x2 = 0. Para integrar desarrollamos el producto Conclusión Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y. Problema 3 Solución 1 Podemos calcular el volumen de dos maneras: con la fórmula básica y la fórmula de las conchas(más fácil). El dibujo nos muestra la función que gira y el cuerpo de revolución. Para calcular el volumen utilizamos la fórmula despejando x en función de y. Calculamos primero el volumen del cuerpo que se obtiene haciendo girar la curva azul entre el eje X, el eje Y, y la recta y=1/4 alrededor del eje Y. A lo obtenido hay que restarle el volumen obtenido al girar la curva roja. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y. Problema 3 Solución 1 (continuación) Calculamos el volumen en dos pasos. Primero calculamos V1 obtenido al girar el dominio que hemos descrito antes sobre el eje Y. Después le restamos V2 que corresponde al volumen engendrado al girar la curva roja. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y. Problema 3 Solución 1 (continuación) Se tiene que: Para simplificar desarrollamos los productos y combinamos las integrales. Se obtiene Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y. Problema 3 Solución 2 (por conchas) Usando la Fórmula de las conchas el cálculo es mucho más fácil : Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 4 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y. Solución El primer paso es hacer un buen dibujo del cuerpo del que queremos calcular el volumen. A la izquierda vemos el círculo que va a girar alrededor del eje Y creando la figura de la derecha (toro) El volumen se puede calcular de dos maneras. Aquí vamos a utilizar el método del volumen por secciones. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 4 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y. Solución (continuación) Cortamos el cuerpo por planos z = t, -1 ≤ t ≤ 1. El corte creado en el toro es el anillo amarillo que se ve a la derecha. t 1 En el plano XZ, el plano z = t corresponde a la línea azul de la derecha. La porción de la línea azul dentro del círculo rojo es el ancho del anillo amarillo . Usando esto podemos calcular el área de la sección. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 4 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y. Solución (continuación) Cortamos el toro por planos, z = t, -1 ≤ t ≤ 1. 2 t 1 La línea azul es la intersección de z=t con el plano XZ. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y. Problema 4 Solución (continuación) Para obtener el volumen V del toro, simplemente integramos el área de una sección arbitraria. 2 Esta integral se puede resolver con un cambio de variable (t=senu) Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 5 Calcular el volumen del casquete de una pelota x2 + y2 + z2 ≤ r2 que se encuentra por encima del plano z=r − h. Solución El volumen que nos interesa es el que está por encima del corte de la pelota con el plano z = r − h. Cortamos el cuerpo por planos paralelos al rojo del dibujo. El corte por el plano z = t es un disco de radio (r2-t2)1/2. Por tanto el área de la sección es π(r2 − t2). Conclusión Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 6 Calcular el volumen de la intersección de los cilindros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1. El dibujo de la derecha nos muestra la figura de la que queremos calcular el volumen. La clave para poder calcular el volumen es cortar los cilindros de forma adecuada. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes Problema 6 Calcular el volumen de la intersección de los cilindros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1. Solución Cortamos el cuerpo por planos z = t como se muestra en el dibujo. El corte de uno de los cilindros por el plano rojo es una banda de anchura 2(1 − t2)1/2. Las bandas correspondientes a los dos cilindros son perpendiculares, y su intersección es un cuadrado de lado 2(1 − t2)1/2. Por tanto el área de una sección es 4(1 − t2). Conclusión Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo de longitudes de arco
Determinar la longitud del arco de la gráfica de la función cosh(x) en el intervalo [-1,1]. Problema 7 Es una aplicación directa de la fórmula la longitud del arco. Solución . Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución Esta es una aplicación directa de la fórmula. La longitud la da la integral Vamos a tratar primero la expresión bajo la raíz cuadrada. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Simplificando la expresión de la raíz cuadrada Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Simplificando la expresión dela raíz cuadrada. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Conclusión: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Entonces se tiene que: sustituyendo: Nuevos límites de integración: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Descomponemos en fracciones simples: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución (continuación) Descomposición en fracciones simples: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 8 Solución Conclusión: Respuesta La longitud de la curva es ln(e2 + 1) − 1. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 9 Solución Por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 10 Solución Observemos que la curva es simétrica con respecto a los ejes X e Y. La representación de la curva puede hacerse a través de un sistema informático (CAS). La expresión de f se obtiene despejando y en función de x de la ecuación de la curva. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 10 Solución (continuación) La fórmula de longitud de arco nos da una integral cuyo resultado es la longitud del arco azul. Después simplificamos la expresión que está en la raíz cuadrada en la fórmula de la longitud de arco. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 10 Solución (continuación) Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Problema 10 Solución (continuación) Esta es la longitud del arco azul. La longitud total es cuatro veces la longitud del arco azul. Respuesta La longitud de la curva es seis unidades de longitud. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Áreas de superficies Problema 11 Calcular el área de la superficie obtenia al girar y=x3, 0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje X. Solución Es un cálculo directo usando la fórmula del área. Se obtiene: Con el cambio de variable t = 1 + 9x4. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Áreas de superficies Problema 12 Solución Este es un cálculo sencillo utilizando la fórmula para el área. Se tiene que: Simplificando Utilizando el cambio de variable 2x2=sinh2(t). Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Fórmulas: Áreas y volúmenes
b f Área entre una curva y eje X Área entre la gráfica de dos funciones f(x) y g(x), a≤x≤b: f g a b Volumen de un cuerpo de revolución obtenido al girar la región encerrada por la gráfica de una función f, entre a y b y el eje X, alrededor de este mismo. Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Fórmulas: Volúmenes f g a b El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región entre las gráficas de las funciones no negativas f (x) y g (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje x. El sólido está limitado por las superficies de revolución se muestra en la imagen. f Volumen de un sólido de revolución obtenido al girar la región limitado por la gráfica de una función no negativa f (x), 0 ≤ a ≤ x ≤ b, y el eje X alrededor del eje X. b a Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Fórumas: longitud de arco
b La longitud del arco de la gráfica de f, a ≤ x ≤ b: (x(t2),y(t2)) (x(t),y(t)) La longitud de arco de la gráfica de la curva de ecuaciones paramétricas (x(t),y(t)), t1 ≤ t ≤ t2: (x(t1),y(t1)) Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Fórmulas: Área de un cuerpo de revolución
b El área de la superficie de revolución obtenida al girar la gráfica de la función f (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje X es: Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas resueltos.

Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä

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