Problemas resueltos de inducción

Presentación del tema: "Problemas resueltos de inducción"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas resueltos de inducción
Problemas resueltos sobre inducción.

2 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Descripción La inducción matemática se aplica a las afirmaciones que dependen de un parámetro que suele tomar valores enteros que comienzan a partir de un valor inicial. Puede considerarse como una máquina que realiza una demostración de una afirmación para cada valor finito del parámetro en cuestión. Tres pasos 1 Demostrar que la afirmación es verdadera para el primer valor del parámetro. 2 Hipótesis de inducción: La afirmación es válida para algún valor m del parámetro. 3 Demostrar que la afirmación es verdadera para el valor m+1 del parámetro. Problemas resueltos sobre inducción.

3 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Problema Demostrar que la fórmula siguiente es verdadera para todos los enteros positivos n. Demostración por inducción 1 Si n=1, entonces la afirmación sólo dice que 1=1, lo que obviamente es correcto. 2 Hipótesis de inducción: Debemos demostrar que: 3 Aplique la hipótesis de inducción a esta parte. Problemas resueltos sobre inducción.

4 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Demostrar que la suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es (n-2). Problema Solución 1 El primer valor del parámetro n es 3. Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es . Por tanto, la afirmación es válida para n=3. 2 Hipótesis de inducción: La suma de los ángulos de un polígono convexo de m lados es (m-2). 3 Debemos demostrar que: la suma de los ángulos de un polígono convexo de (m+1) lados es (m-1). La suma de los ángulos del polígono azul de m lados es (m-2) por 2). Esto se obtiene de las partes 1 y 2, mediante la descomposición de un polígono de (m+1) lados en una unión de un polígono de m lados y un triángulo, tal y como se indica en la imagen de la derecha. La suma de los ángulos del triángulo rojo es . De la imagen se deduce que la suma de los ángulos de polígono azul de (m+1) lados de la izquierda es (m-2)+  = (m-1). Problemas resueltos sobre inducción.

5 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Problema Sea y Hallar una expresión para fn y demostrarla por inducción. Solución Realizar el cálculo manualmente o mediante un CAS Fórmula Problemas resueltos sobre inducción.

6 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Afirmación Sea y Entonces, Demostración 1 Si insertamos n = 0 en la fórmula, obtenemos que es verdadero. 2 Supongamos que Problemas resueltos sobre inducción.

7 Problemas resueltos sobre inducción.
Inducción matemática Afirmación Sea y Entonces, Demostración (cont.) Debemos demostrar que la hipótesis de inducción implica 3 Mediante un cálculo directo Utilizar la hipótesis de inducción para sustituir esta parte. Problemas resueltos sobre inducción.

8 Cómo hallar una fórmula de suma
Problema Halle una fórmula para la suma Obtendremos la fórmula empleando métodos que pueden aplicarse para el cálculo de sumas de potencias enteras positivas de números enteros de 0 a n. NOTA: Esto tiene importantes aplicaciones en la integración En este caso sólo hemos invertido el orden de la suma. Solución Comenzaremos observando que Esto se basa en que S(n) es una suma de n polinomios, cada uno de ellos de grado 3 en n. Como puede que el resultado sea nulo, el grado debe ser < 4. Después, observemos que Por ello, Conclusión en n. es un polinomio de grado Problemas resueltos sobre inducción.

9 Problemas resueltos sobre inducción.
La suma como polinomio Problema Hallar una fórmula para la suma Conclusión es un polinomio de grado en n. Propiedades del polinomio S(n): S(0) = 0. S(n + 1) = S(n) + (n + 1)3. Aquí sólo hemos utilizado la definición de la suma S(n). Un polinomio general de grado es Método Hallar los coeficientes ak utilizando las condiciones 1 y 2 del polinomio S(n). Problemas resueltos sobre inducción.

10 Propiedades del polinomio suma
Condiciones La 1ª condición para S( n ) implica que Por ello, Para determinar los coeficientes ak, k = 1,…,3, utilizamos la 2ª condición. La 2ª condición para S( n ) implica que La última ecuación debe ser válida para todos los valores de n. Los polinomios de los dos lados de la ecuación son iguales si y sólo si los coeficientes de los diversos términos del orden también lo son. Esto da lugar a ecuaciones para los coeficientes ak. Problemas resueltos sobre inducción.

11 Cálculo de los coeficientes
Condiciones La ecuación correspondiente a los polinomios en la variable n sólo es válida si los coeficientes de los polinomios son iguales. Por lo tanto, obtendremos: Este sistema de ecuaciones lineales se resuelve por eliminación. La 2a ecuación da como resultado a4=1/4. Si sustituimos este valor en la 3a ecuación obtenemos a3=1/2. Si sustituimos estos valores en la 4a ecuación, tenemos a2=1/4. Entonces, el valor de a1 proviene de la última ecuación. Problemas resueltos sobre inducción.

12 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä Problemas resueltos sobre inducción.