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Integrales Impropias (II)
Integrales impropias. Teoría II
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Integrales impropias. Teoría II
Definición La integral es impropia si: El intervalo de integración no está acotado. La función f no está definida o no está acotada en puntos que pertenecen al intervalo de integración Ambas cosas. Integrales impropias. Teoría II
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Integrales impropias. Teoría II
Definición Suponiendo que la función f es continua en el intervalo [a, b) se tiene que: Si el límite existe y es finito , la integral impropia converge, y Si la integral no converge, entonces la integral diverge. Integrales impropias. Teoría II
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Integrales impropias. Teoría II
Ejemplo Suponiendo que p ≠ 1 Lo anterior es cierto si 1 - p < 0. Si 1 - p ≥ 0, la integral diverge. Integrales impropias. Teoría II
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Integrales impropias. Teoría II
Ejemplo NOTA: Supongamos que p > 0, y p ≠ 1 pues si p ≤ 0, la integral no es impropia. Suponiendo que 1 - p > 0, i.e. p < 1. Integrales impropias. Teoría II
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Integrales impropias. Teoría II
Ejemplo Suponiendo que a ≠ 0. Suponiendo que a < 0. Si a ≥ 0, la integral impropia diverge. Integrales impropias. Teoría II
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Integrales Impropias Básicas
1 converge si p > 1. 2 converge si p < 1. converge si a < 0. 3 Integrales impropias. Teoría II
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Integrales Impropias Básicas
4 converge si p < -1. 5 converge si p > -1. Para todos los demás valores del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Integrales impropias. Teoría II
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Convergencia de las Integrales Impropias
A menudo no es posible calcular el límite de la definición de un integral impropia directamente. Con el fin de averiguar si la integral converge o no, se puede tratar de comparar la función que se integra con otra que pertenezca a una integral que ya conocemos. Integrales impropias. Teoría II
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Convergencia de las Integrales Impropias
Consideremos la integral impropia La gráfica de la función se muestra en la figura. Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
La integral impropia converge si el área que encierra la curva y el eje x es finita. Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
La integral impropia converge si el área que encierra la función y el eje x es finita. En esta gráfica se puede estudiar a partir de la curva azul que es una función más simple y podemos ver fácilmente si encierra un área finita. Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Observar que, para todo x se verifica La curva es la gráfica azul. y la roja es la de la función Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Siendo y siendo concluimos que converge. Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Teorema A Sea -∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que se verifica que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, con a < x < b. Si la inegral converge, entonces también lo hará y Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Teorema B Sea ∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, a < x < b. Si la integral diverge, entonces también lo hará Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Ejemplo Converge la integral ? Solución Sabemos que 0 <sin x< x, para 0 < x ≤ 1. Por tanto para 0 < x ≤ 1. Integrales impropias. Teoría II
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Teorema de Comparación
Ejemplo Converge la integral l ? Solución (continuación) Se tiene: para 0 < x ≤ 1 Como la integral diverge, entonces diverge . Integrales impropias. Teoría II
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Integrales Impropias Básicas
1 converge si p > 1. 2 converge si p < 1. converge si a < 0. 3 Integrales impropias. Teoría II
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Integrales Impropias Básicas
4 converge si p < -1. 5 converge si p > -1. Para cualquier otro valor del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Usar el Teorema de Comparación para ver la convergencia o divergencia de integrales impropias comparándolas con estos cinco tipos de integrales. Integrales impropias. Teoría II
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Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä
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