Problemas resueltos del Teorema de Rolle

Presentación del tema: "Problemas resueltos del Teorema de Rolle"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas resueltos del Teorema de Rolle
Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

2 Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle
Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

3 Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle
1 Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. 2 Demostrar, utilizando el principio de inducción, que todo polinomio de grado n tiene como mucho n raíces distintas. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

4 Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle
Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. Observaciones Sea f(x) = 2x – cos x – sen x. Tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0 exactamente una vez. La figura de la derecha muestra la gráfica de la función f para –1 < x < 2. Mirando la gráfica, uno puede ya pensar que la ecuación f(x) = 0 tiene exactamente una solución. Lo justificaremos además, basándonos en el Teorema de los Valores Intermedios y el Teorema de Rolle. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

5 Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle
Demostrar que la ecuación 2x – cos x – sen x = 0 tiene exactamente una solución. Sea f(x) = 2x – cos x – sen x. Tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0 exactamente una vez. Solución Vemos claramente que la función f es continua y derivable. Como f(0) = –1 and f(1) = 2 – cos 1 – sen 1 > 0, la función f toma el valor 0 en el intervalo (0,1) por el Teorema de los Valores Intermedios. Si la función f toma el valor 0 dos veces o más, la ecuación f’(x) = 0 tiene también soluciones por el Teorema de Rolle. f´(x) = 0  2 + sen x - cos x = 0. Esta ecuación no tiene ninguna solución pues 2 + sen x - cos x > 0 para todo x. Por lo tanto, la ecuación original tiene solo una solución. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

6 Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle
Demostar, usando el principio de Inducción, que todo polinomio de grado n tiene como mucho n raíces distintas. Solución Un polinomio de grado 1 es de la forma P(x) = a1 x + a0 con a1  0. Este polimonio tiene siempre una raíz, x = –a0/a1. Por tanto la afirmación tiene sentido para n = 1. 1 Suposición de Inducción: Suponemos que todo polinomio de grado n tiene, como mucho, n raíces distintas. 2 Sea P un polinomio de grado n Tenemos que demostrar que tiene, como mucho, n + 1 raíces distintas. 3 Para ello, supongamos que P tiene n + 2 o más raíces. Luego, por el Teorema de Rolle, la derivada P’ tiene n + 1 raíces. Pero esto es imposible, al ser P’ un polinomio de grado n, ya que por la Suposición de Inducción, tal polinomio puede tener como mucho n raíces distintas. Por lo tanto, P tiene como mucho n + 1 raíces distintas. Problemas resueltos del teorema del valor medio Teorema de Rolle

7 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä