Estudios Profesionales para la Empresa

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1 Estudios Profesionales para la Empresa
La integral Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano. Estudios Profesionales para la Empresa

2 Primitivas o Antiderivadas
Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua. Estudios Profesionales para la Empresa

3 Estudios Profesionales para la Empresa
Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I. Estudios Profesionales para la Empresa

4 Interpretación geométrica
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5 Interpretación geométrica
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6 Interpretación geométrica
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7 Interpretación geométrica
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8 Estudios Profesionales para la Empresa
Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones. Estudios Profesionales para la Empresa

9 Antiderivada particular
Función Estudios Profesionales para la Empresa

10 Estudios Profesionales para la Empresa
INTEGRAL DEFINIDA Y CALCULO DE ÁREAS A3 A2 A1 A4 Estudios Profesionales para la Empresa

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12 Estudios Profesionales para la Empresa
Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: Estudios Profesionales para la Empresa

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Limite Inferior y superior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. Estudios Profesionales para la Empresa

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2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función integrable en [a, b] y F una primitiva de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación. Estudios Profesionales para la Empresa

15 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Propiedad de linealidad
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad Estudios Profesionales para la Empresa

16 Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración Estudios Profesionales para la Empresa

17 Estudios Profesionales para la Empresa
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar: Estudios Profesionales para la Empresa

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3. Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). Estudios Profesionales para la Empresa

19 Estudios Profesionales para la Empresa
Si f y g son integrables en [a, b] y g(x)  f(x) para todo x  [a, b], se tendrá: Teorema de comparación Estudios Profesionales para la Empresa

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21 Estudios Profesionales para la Empresa
Ejemplo: Usando la propiedad 5, estime entre qué valores se encuentra: Estudios Profesionales para la Empresa

22 Estudios Profesionales para la Empresa
DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces: Estudios Profesionales para la Empresa

23 Estudios Profesionales para la Empresa
Definición: Sea f una función contínua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: ò = b a dx ) x ( f S A Estudios Profesionales para la Empresa

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y x dx f(x) y = f(x) dA = f(x)dx dx a b Estudios Profesionales para la Empresa

25 Estudios Profesionales para la Empresa
Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0  x  2, 0  y  x2 + 1} Estudios Profesionales para la Empresa

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y x d c g(y) dy x = g(y) dy dA = g(y)dy Estudios Profesionales para la Empresa

27 Estudios Profesionales para la Empresa
Ejemplos 2. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0. 3. Encontrar el área de la región xy = 1 ; x = 0,5 ; x = 2. Estudios Profesionales para la Empresa

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Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura. Estudios Profesionales para la Empresa

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f(x) dx y x - g(x) y = f(x) b a dx dA =[f(x) - g(x)]dx y = g(x) Estudios Profesionales para la Empresa

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Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ; -1 1 x y Estudios Profesionales para la Empresa

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6. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; Estudios Profesionales para la Empresa