Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites

Presentación del tema: "Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites"— Transcripción de la presentación:

1 Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites
Prueba de las Principales Propiedades La Regla del Sandwich Límites Laterales Límite de funciones.

2 Límites de Funciones Observar que el valor de f en x0 no afecta al valor del límite (si existe). El límite puede existir incluso si la función no está definida en x = x0. Definición Una función f tiene límite L en un punto x0 si los valores f(x) se aproximan a L cuando x tiende a x sin llegar a serlo. Notación Ejemplo La función tiene límite 0 cuando x  0 a pesar de que f(0) = 1. Límite de funciones.

3 Definición de Límites Una función f tiene límite L en el punto x0 si
Ejemplo Afirmación Prueba Sea ε > 0. si Así se acaba la demostración ya que para todo número positivo ε podemos encontrar un número positivo δ que satisfaga la condición de la definición. Límite de funciones.

4 Límites Positivos Teorema Suponer que Entonces existe un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ  f(x) > 0. Prueba En la definición de límite, hagamos ε = a > 0. Entonces, como hay un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ  |f(x) – a| < a = ε. a=ε δ x0 Esto implica que: f(x) > 0 si 0 < |x – x0|< δ. La figura ilustra este teorema. Observar que f(x0) puede ser negativo incluso si el límite de f en x0 es positivo. Límite de funciones.

5 Propiedades de Límites
1 2 3 4 5 La Regla del Sandwich Si , entonces existe y Supongamos que cerca de x0, pero no necesariamente en x0, se verifica f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Límite de funciones.

6 Prueba de las Propiedades de Límites
1 Prueba Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que Como , hay un número positivo δ2 tal que Por la Desigualdad Triangular Sea δ = min(δ1, δ2). Por tanto si |x – x0| < δ. Límite de funciones.

7 Prueba de las Propiedades de Límites
3 Prueba Lo haremos para el caso ab ≠ 0. La prueba en otros casos es más fácil y puede hacerse modificando ligeramente el razonamiento. Sea ε > 0. Como , y como , Existen los números positivos δ1 y δ2 tal que Podemos encontrar los números δ1 y δ2 por la definición del límite ya que lo que está a la derecha es positivo. Sea δ = min(δ1, δ2). En la próxima diapositiva demostraremos que el número positivo δ tiene la propiedad deseada. Límite de funciones.

8 Prueba de las Propiedades de Límites
3 Observar que esto implica |f(x)|<2|a|. Usamos esto más abajo. Prueba (cont.) Supongamos |x – x0| < δ. Por las consideraciones anteriores, Usamos la Desigualdad Triangular Aquí simplemente sumamos y restamos f(x)b. La expresión no cambia. Obtenemos: Por tanto si |x – x0| < δ. Límite de funciones.

9 Prueba de la Regla del Sandwich
5 La Regla del Sandwich Supongamos que cerca del número x0, pero no necesariamente en el punto x0, se tiene que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Si , entonces existe y Prueba La suposición sobre las funcionesf, g, y h significa que hay un número c > 0 tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para 0 < |x0 – x| < c. Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que a f(x) ε g(x) Como , hay un número positivo δ2 tal que h(x) Sea δ = min(c, δ1, δ2). Lo de arriba implica: Límite de funciones.

10 La Regla del Sandwich Gráficamente
Supongamos que cerca del puntox0 (pero no necesariamente en x0) las funciones f, g, y h satisfacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Si ,entonces existe y . h f g En la Regla del Sandwich, los valores de la función h cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y g. Si estas funciones tienen el mismo límite en x0, entonces la función h debe tener ese límite también. Límite de funciones.

11 Cómo Calcular Límites (1)
Métodos para calcular límites: Si la función f está definida por una expresión que tiene un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite. Si la función f está definida por expresión cuyo valor es indeterminado en el límite, entonces se debe reescribir la expresión de una manera más sencilla o emplear la Regla de Sandwich. Ejemplos 1 2 Límite de funciones.

12 Cómo Calcular Límites (2)
Ejemplo en que reescribimos la expresión 1 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces del denominador. Límite de funciones.

13 Cómo Calcular Límites (3)
Aplicación de la Regla de Sandwich 1 Recordar que, para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1. Por tanto para todo x ≠ 0. Como , podemos usar la Regla del Sandwich y concluir que: Observar que los valores de la expresión x sen(1/x) son indeterminados para x = 0. El límite existe, sin embargo, y es 0. Límite de funciones.

14 Sin Límite Ejemplo Sea La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función toma valores entre -1 y 1. Límite de funciones.

15 Límites Laterales (1) Definición
Una función f tiene el límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x > x0. Notación Definición Una función f tiene el límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x < x0. Notación Límite de funciones.

16 Límites Laterales (2) Ejemplo Sea
Por las propiedades del valor absoluto, se puede reecribir la función f como: Por tanto, la definición de la función f implica que y La función f tiene límites laterales en x=0 pero no tiene límite en x=0. Límite de funciones.

17 Definición Formal de Límites Laterales
Una función f tiene límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x0 – x < δ  |f(x) – L| < ε. Notación Definición Una función f tiene límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x- x0 < δ  |f(x) – L| < ε. Notación Conclusión El resultado es consecuencia inmediata de las definiciones. Límite de funciones.

18 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä