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Problemas Resueltos de Funciones Continuas

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Presentación del tema: "Problemas Resueltos de Funciones Continuas"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Resueltos de Funciones Continuas
Las funciones continuas e inyectivas deben ser monótonas.

2 Funciones Continuas e Inyectivas
Problema 1 Sea f:[a,b]  [c,d] una función continua e inyectiva (uno a uno). Probar que f es monótona. Solución Tendremos que probar que f creciente o decreciente. Es decir que no puede ser creciente en algunas partes del intervalo [a,b] y decreciente en otras partes del mismo. Esto significa que no es posible encontrar x1, x2 y x3 tal que a < x1 < x2 < x3 < b y f(x1) < f(x2) y f(x2) > f(x3) o f(x1) > f(x2) y f(x2) < f(x3). En la figura de la izquierda la función es primero creciente y después decreciente. En la de la derecha es al contrario. x1 x2 x3 x1 x2 x3 Problemas resueltos/Funciones Continuas/Propiedades.

3 Funciones Continuas e Inyectivas
Sea f:[a,b]  [c,d] una función continua e inyectiva (uno a uno). Probar que f es monótona. Problema 1 Supongamos que se pueden encontrar x1, x2 y x3 tal que a < x1 < x2 < x3 < b y f(x1) < f(x2) y f(x2) > f(x3) o f(x1) > f(x2) y f(x2) < f(x3). Solución Entonces, por el Teorema de los Valores Intermedios, la función f toma todos los valores entre max(f(x1), f(x3)) y f(x2) al menos dos veces: una vez en el intervalo [x1, x2] y una vez en el intervalo [x2, x3]. x1 x2 x3 Por tanto f no es uno a uno lo que contradice la hipótesis. En el segundo caso, cuando f es primero decreciente y luego creciente, llegamos a la misma contradicción. Por tanto f debe ser estrictamente monótona en el intervalo [a,b]. Problemas resueltos/Funciones Continuas/Propiedades.

4 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä


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