Clase 9.1 Integrales.

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1 Clase 9.1 Integrales

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3 Supongamos que se conoce con que velocidad V(t) viaja un avión en cada instante de tiempo y se quiere encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo (función de posición). Su posición inicial es S(0)= 9 m

4 Primitivas o Antiderivadas
Definición: Una función F se llama primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

5 Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria. Teorema Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, (C constante) para todo x en I.

6 Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

7 Interpretación geométrica

8 Interpretación geométrica

9 Interpretación geométrica

10 Problemas 1. Una lancha de motor se aleja del muelle describiendo una trayectoria rectilínea, con una aceleración en el instante t, dada por En el instante t = 0, la lancha tenia una velocidad de 8 m/s y se encontraba a 15 metros del muelle. Determinar la posición de la lancha S (t ) respecto al embarcadero al cabo de t segundos. 2. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 pies/seg. Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura s (t ) en el instante t. ¿Cuál es su altura máxima?

11 Resolver: 11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 68. Pág.. 356

12 ÁREAS A3 A2 A1 A4

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14 Definición 2: El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

15 Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho
Definición de Integral definida f continua definida Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho Elegimos las muestras x1*, x2*,..., xn* Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es:

16 Leibniz introdujo el símbolo
Notas 1 Leibniz introdujo el símbolo Limite Inferior y superior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.

17 Nota 2: La integral definida es un número.
Nota 3: Debido a que hemos supuesto que f es continua, se puede probar que el límite de la definición siempre existe y da el mismo valor sin importar cómo elijamos los puntos muestras. Nota 4: Se llama suma Riemann, en honor al matemático alemán y si f es positiva, esta suma se puede interpretar como un área.

18 Nota 5: Aun cuando la mayoría de las funciones son continuas, el límite de la definición también existe si f tiene un número finito de discontinuidades removibles o por saltos (pero no discontinuidades infinitas). Propiedades página 385

19 Sea f una función continua tal que: f(x)  0 en [a, b] y
Propiedad 1 Definición: Sea f una función continua tal que: f(x)  0 en [a, b] y S={(x, y)/ a  x  b, 0  y  f(x)} Se denota por a(S) y se llama área bajo la curva y = f(x) al número dado por:

20 que es el área de un rectángulo de altura
Propiedad 2 A partir del ejemplo anterior se tiene que: que es el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a).

21 Propiedad de linealidad
Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene:

22 Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
Si existen dos de las integrales siguientes, también existe la tercera y se tiene: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

23 La propiedad anterior es aplicada
cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar:

24 Teorema de comparación
Propiedad 5 Teorema de comparación Si f y g son integrables en [a, b] y g(x)  f(x) para todo x  [a, b], se tendrá: Demuestre que

25 Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra:
Ejemplo Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra:

26 ò ò ³ £ dx f(x) entonces b, x cuando 0, Si £ a) - M(b dx f(x) m(b b, x
Propiedad 6 y 7 ò b a dx f(x) entonces b, x cuando 0, Si ò b a a) - M(b dx f(x) m(b b, x cuando M, m Si

27 DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces:

28 Entonces F(x) es derivable en [a, b] y
1° Teorema Fundamental del Cálculo Sea f una función continua en [a, b], y la función F(x) definida por: Entonces F(x) es derivable en [a, b] y F’(x) = f(x)

29 Ejemplos 1. Determine la derivada con respecto a x de las funciones: 2. Aplique la regla de L’Hôpital para calcular:

30 Si f es una función integrable en [a, b]
2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función integrable en [a, b] y F una primitiva de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de primitivas y evaluación.

31 Ejemplos Evaluar las integrales 4. Hallar el área de la región que se muestra en la figura.

32 Regla de sustitución Evaluar las siguientes integrales: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces: