Límites de Sucesiones de Números Reales

Presentación del tema: "Límites de Sucesiones de Números Reales"— Transcripción de la presentación:

1 Límites de Sucesiones de Números Reales
Sucesiones de Números Reales Límites por definición Regla de Sandwich Uso de la Regla de Sandwich Sucesiones Monótonas Sucesiones. Recopilación teoría

2 Sucesiones. Recopilación teoría
Sucesiones Numéricas Definición Ejemplos 1 2 3 Sucesiones. Recopilación teoría

3 Sucesiones. Recopilación teoría
Límites de Sucesiones Definición Si una sucesión tiene límite finito, decimos que la sucesión es convergente o que converge. En caso contrario la sucesión diverge o es divergente. Ejemplos 1 2 3 La sucesión (1,-2,3,-4,…) diverge. Notación Sucesiones. Recopilación teoría

4 Cálculo de Límites de Sucesiones (1)
Ejemplos 1 2 Sucesiones. Recopilación teoría

5 Cálculo de Límite de Sucesiones
Ejemplos continuación 3 Sucesiones. Recopilación teoría

6 Cálculo de Límites con Maple
Comandos de Maple Limit y limit Limit(f,x=a,dir) y limit(f,x=a,dir) Llamada a la Sucesión Este comando calcula el límite de la expresión f cuando la variable x se aproxima al valor a. La opción dir puede ser usada para elegir la dirección por la que la variable x se aproxima al valor a. Cuando calculamos el límite de una sucesión, f es el término general de la sucesión y la variable x toma sólo valores enteros positivos y se aproxima a infinito. Sucesiones. Recopilación teoría

7 Definición Formal de Límite de Sucesiones
Ejemplo Sucesiones. Recopilación teoría

8 Sucesiones. Recopilación teoría
Límite de Sumas Teorema Demostración Por la Desigualdad Triangular Sucesiones. Recopilación teoría

9 Sucesiones. Recopilación teoría
Límite de Productos El mismo razonamiento que para las sumas puede utilizarse para demostrar la siguiente propiedad. Teorema Observación Ejemplo Sucesiones. Recopilación teoría

10 Regla de Sandwich para Sucesiones
Teorema Demostración Sucesiones. Recopilación teoría

11 Uso de la Regla de Sandwich
Ejemplo Solución Esto es difícil de calcular usando los métodos estandar porque n! está definido sólo si n es un número natural. Así los términos de la sucesión en cuestión no vienen dados por una función elemental a la cual podamos aplicar técnicas como la regla de L’Hopital. Aquí cada término k/n < 1. Sucesiones. Recopilación teoría

12 Uso de la Regla de Sandwich
Problema Solución Sucesiones. Recopilación teoría

13 Sucesiones. Recopilación teoría
Sucesiones Monótonas Definición Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para todo n. Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n. Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o bien creciente o decreciente. Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m ≤ an ≤ M para todo n. Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Observesé que es suficiente con demostrar el teorema para las sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente, entonces se considera la sucesión creciente (-an). Sucesiones. Recopilación teoría

14 Sucesiones. Recopilación teoría
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada. Entonces el conjunto {a1,a2,a3,…} está acotado superiormente Por el hecho de que el conjunto de números reales es completo, s=sup {a1,a2,a3,…} es finito. Afirmación Sucesiones. Recopilación teoría

15 Sucesiones. Recopilación teoría
Sucesiones Monótonas Teorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente). Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada. Sea s=sup {a1,a2,a3,…}. Afirmación Demostración de la afirmación Sucesiones. Recopilación teoría

16 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä