Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle

Presentación del tema: "Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle"— Transcripción de la presentación:

1 Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle
El Teorema de Rolle Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

2 Funciones crecientes (1)
Suponemos que la función f es creciente y derivable en todo su dominio. Entonces Por tanto podemos afirmar Esto es debido a que f es creciente. La derivabilidad implica que el límite existe. Teorema Supongamos que la función f es derivable en el punto x0, y que f’(x0) > 0. Entonces existe un número positivo  tal que f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

3 Funciones crecientes (2)
Supongamos que la función f es derivable en el punto x0 y que f’(x0) > 0. Entonces existe un número positivo  tal que f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0. Teorema Demostración Por lo tanto, Esto implica que si x – x0 es positivo, entonces también f(x) – f(x0) es positivo demostrando la primera afirmación. La segunda afirmación se puede comprobar del mismo modo. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

4 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Extremos locales Definición Un punto x1 del intervalo abierto (a,b) es un máximo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x1, f(x)  f(x1 ). Un punto x2 del intervalo abierto (a,b) es un mínimo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x2 , f(x)  f(x2 ). a b f x1 x2 Un extremo local de una función es un máximo local o a un mínimo local. Los valores de la función en sus puntos extremos se llaman valores extremos. En la figura de la derecha, el punto x1 es un máximo local y el punto x2 un mínimo local de la función f. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

5 Criterio para Extremos Locales
Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si c  (a,b) es un extremo local de la función f, entonces la derivada de f se anula en el punto c, es decir f’(c)=0. Teorema Demostración Supongamos que c  (a,b) es un máximo local o un mínimo local de la función f. Si f’(c) > 0, entonces, por el Teorema anterior, cerca del número c y a la derecha de c, la función f toma valores mayores que f(c). A la izquierda del número c la función toma valores menores que f(c). Por lo tanto c no puede ser un extremo local. Del mismo modo, podemos ver que f’(c) no puede ser negativa. Concluimos que f’(c) = 0. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

6 Extremos de Funciones Continuas
Teorema Una función f que es continua en el intervalo cerrado [a,b] alcanza su máximo y su mínimo en [a,b]. No vamos a demostrar el resultado aquí. Mediante razonamientos geométricos, el resultado parece convincente y una demostración rigurosa usa argumentos afines a aquellos usados en la demostración del Teorema de los Valores Intermedios para Funciones Continuas. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

7 Para hallar los extremos
Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], ten en cuenta los siguientes pasos: Calcula la derivada de la función f. Encuentra las raíces de la derivada en el intervalo (a,b). Calcula los valores de f en los puntos que son las raíces de la derivada y en los extremos a y b del intervalo. Dentro de estos valores calculados, elige el mayor y el menor. Ésos son los extremos ABSOLUTOS de la función f. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

8 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

9 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Demostración Si f(x)=f(a)=f(b) para todo x entre a y b, entonces f es una función constante, y la derivada de f se anula para todo x, y c puede ser cualquier punto entre a y b. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

10 Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Supongamos que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), con f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que f’(c) = 0. Demostración (cont.) Si f no es una función constante, entonces o su máximo en [a,b] es mayor que f(a) o su mínimo es menor que f(a). Suponemos que el máximo de f [a,b] es mayor que f(a). Entonces, como f(b) = f(a), f alcanza su máximo en el punto c (a,b). Por el Criterio para Extremos Locales , concluimos que f’(c) = 0. Si el máximo de f en [a,b] no es mayor que f(a), entonces su mínimo es menor. Y se puede aplicar el Criterio para Extremos Locales al mínimo de f para concluir la existencia de c. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

11 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä