Problemas resueltos de áreas e integrales definidas

Propiedades Básicas de las Integrales Durante está sección vamos a suponer que todas las funciones son continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. En lo que sigue, r es un número real y tanto f como g son funciones. Propiedades Básicas de las Integrales 1 2 3 4 5 Estas propiedades se obtienen de la definición de integral como límite de sumas de Riemann. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Tabla de Primitivas 1 2 Abreviando: 3 5 4 7 6 9 8 10 10 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Teorema Fundamental del Cálculo Si f una función continua entonces la función es una primitiva de la función f, es decir, F’(x) = f(x). Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f, Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x3 y el eje X entre 0  x  2. 2 Calcular el límite , interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura. 3 Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente. 4 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas 5 6 7 ¿ Qué es incorrecto en el cálculo de ? 8 Sea f una función continua tal que Determinar f(1). Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Longitud de los subintervalos. Problemas 1 Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica de la función y = x3 y el eje X entre 0  x  2. Evaluamos x3 en el extremo derecho del subintervalo k . Solución Aproximación del área por exceso: Longitud de los subintervalos. Suma superior = Respuesta El área es 4. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas 2 Calcular el límite , interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área de dicha figura. Solución Debemos relacionar la suma dada con una suma aproximada del área encerrada por la gráfica de una función. Se observa que: De esta manera resulta obvio que la suma aproxima el área encerrada por la gráfica de x2 para 0  x  1. Ya hemos hallado anteriormente que este área es 1/3. Respuesta Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Cálculo de Sumas de Riemann Hallar las sumas de Riemann para la integral con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente. 3 Solución Los puntos de división son: {0,/10,(2)/10,(3)/10,(4)/10, /2}. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Cálculo de Sumas de Riemann 3 Comentarios sobre la solución Izq(5)0.8347 Med(5)1.0041 Der(5)1.1488 La función sen(x) es creciente en el intervalo de integración. Por lo tanto la suma que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior , aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central devuelve la mejor aproximación, ya que el valor exacto de la integral es 1, que es fácil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Cálculo. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Uso de las Sumas de Riemann 4 Solución La suma en cuestión a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que los sumandos no son de la forma (valor de la función)×(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla. Ahora tenemos la longitud del subintervalo. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Uso de las Sumas de Riemann 4 Solución La conclusión anterior fue que Hallar el valor de esta integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo es bastante complicado. Por lo tanto el valor de la integral es el área pintada de azul. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Estimación de integrales 5 Solución La integral en cuestión encierra el área de la región situada entre la curva roja y el eje X. Por lo tanto el área encerrada por debajo de la recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor de la integral. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 6 Solución La función F está definida mediante una integral cuyos límites de integración dependen de x. Esto significa que debemos modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. s de aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.(TFC) Regla de la cadena Mediante TFC Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 7 ¿Qué es incorrecto en el cálculo de ? Solución Este resultado no puede ser correcto ya que la función a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la integral debería ser también positivo. Respuesta La gráfica de la función f(x)= 1/x2 puede verse en la figura de arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo 8 Sea f una función continua tal que Determinar f(1). Solución Hay que derivar la ecuación dada para obtener la expresión de la función f. Usando el TFC y la regla de la cadena. Por tanto : Por otro lado: Conclusión Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä