Límites Trigonométricos. El Límite Definición de la Función Seno Aproximaciones de la Función Seno Ejemplos Límites Trigonométricos.

Límites Trigonométricos. El Límite El límite es importante para aplicaciones más avanzadas. Sustituyendo x = 0 nos lleva a una indeterminación del tipo 0/0. Calculando valores de sen(x)/x con ordenador obtenemos la tabla de la izquierda. A la derecha tenemos la representación de sen(x)/x. x sen(x)/x 0.1 0.99833 0.001 0.99999 0.00001 1.00000 Los valores calculados y la representación nos llevan a: Conjetura Esto es correcto, pero el resultado necesita una justificación matemática. Empezamos por hablar d la función Seno. Límites Trigonométricos.

Funciones Trigonométricas Considerar los ángulos positivos α como se indica en la figura Definición 1 Para ángulos α, 0 ≤ α < π/2, sen(α) es la longitud del segmento rojo (cateto), opuesto al ángulo α en el triángulo de la derecha, con hipotenusa de longitud 1. El segmento azul tiene una longitud cos(α). sen(α) α cos(α) 1 sen(α) cos(α) α Para un ángulo positivo general α, cuyo comienzo es el eje x positivo, se definen cos(α) y sen(α) como las coordenadas x e y de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia de radio 1. Extendemos esta definición a ángulos negativos mediante: cos(−α) = cos(α) y sen(–α) = –sen(α). Límites Trigonométricos.

Funciones Trigonométricas (2) sen(α) cos(α) α 1 sen2(α) + cos2(α) = 1 Esta identidad básica sale del hecho de que el punto (cos(x), sen(x)) es, por su definición, un punto del círculo unidad. Definición Gráficas de: sen(x), la curva roja, y cos(x), la curva azul. Límites Trigonométricos.

Funciones Trigonométricas (3) Longitud del arco verde = α (medido en radianes) El tamaño del ángulo está medido como la longitud α del arco, indicado en la figura, en una circunferencia de radio 1 con centro en el vértice. α 1 sen(α) Sen(α) es la longitud del segmento rojo de la figura. Conclusión Para ángulos positivos α, 0 < sen(α) < α. La desigualdad de arriba es obvia por la figura. Para ángulos negativos α la desigualdad es al revés. El área de un sector de ángulo α de un círculo de radio r viene dado por: Área = Área de un sector circular Límites Trigonométricos.

Funciones Trigonométricas (4) El sector de “ángulo α” de un círculo de radio 1 está contenido en el triángulo de la derecha y el segmento azul es tan(α) = sen(α)/cos(α). Por tanto, el área del sector del círculo es menor que el área del triángulo. Es decir,. tan(α) α 1 Esto implica: Conclusión Para ángulos α, 0 < α < π/2, sen(α) > α cos(α). Límites Trigonométricos.

Límites Trigonométricos. Encuentra el límite Como para α > 0, se tiene que 0 < sen(α) < α, usando la Regla del Sandwich La fórmula trigonométrica sen2(α) + cos2(α) = 1 junto con las Reglas de Límites implica: El área estimada, sen(α) > α cos(α) combinada con sen(α) < α, da α > sen(α) > α cos(α) para 0 < α < π/2 . Dividiendo por α obtenemos: para 0 < α < π/2. Por tanto Como tenemos: Aquí usamos la Regla de Sandwich y el hecho de que: Conclusión Límites Trigonométricos.

Límites Trigonométricos. Ejemplos Problema 1 Calcular Solución Reescribimos Por la conclusión anterior: Por tanto Respuesta Límites Trigonométricos.

Límites Trigonométricos. Ejemplos Problema 2 Calcular Solución Reescribimos Sustituyendo α = sen(α) por obtenemos: Por tanto Respuesta Límites Trigonométricos.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä