CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Optimización de funciones de varias variables, sin restricciones

¿Qué nombre recibe el punto señalado en la superficie?

Responda las siguientes preguntas:  Para una función de una variable real, ¿Cómo se define un punto crítico?  Para una función de una variable real, ¿qué criterios se toman en cuenta para hallar los extremos relativos de dicha función?  ¿Cómo se de finen los extremos relativos en funciones de dos variables reales?

Resuelva el siguiente problema de aplicación: Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x +2y +3z = 6.

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería a partir de la optimización de funciones en varias variables, usando el criterio de la segunda derivada, de forma coherente.

TEMARIO Extremos relativos. Definición de punto crítico. Criterio de las segundas derivadas.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVO R Sea f función real, de varias variables, definida en una región R que contiene (x 0, y 0 ) : f tiene o alcanza mínimo local (o relativo) en el punto (x 0, y 0 ) si f (x,y) ≥ f (x 0, y 0 ) para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x 0, y 0 ). El número f (x 0, y 0 ) es un valor mínimo local de f. f tiene o alcanza máximo local (o relativo) en el punto (x 0, y 0 ) si f (x,y) ≤ f (x 0, y 0 ) para todo (x, y) en un disco abierto que contiene (x 0, y 0 ). El número f (x 0, y 0 ) es un valor máximo local de f.

DEFINICIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS R Sea f definida en una región abierta R que contiene (x 0, y 0 ). El punto (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: Hallar los puntos críticos de f (x,y) = 12x – x 3 – 4y 2 Ejemplo 1 Solución: los puntos críticos se encuentran resolviendo simultáneamente: Por lo tanto hay dos puntos críticos: (2, 0) y (– 2, 0)

Observación: No todos los puntos críticos originan valores extremos. Por ejemplo, la función f(x, y) = y 2 – x 2 tiene un único punto crítico P(0, 0), pero f (0, 0) = 0 no es un valor extremo de f puesto que en una vecindad de 0, la función f toma valores positivos y valores negativos. LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRESENTAN SÓLO EN PUNTOS CRÍTICOS R Si f tiene un extremo relativo en (x 0, y 0 ) en una región abierta R, entonces (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f.

Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a, b), para el cual Es decir, (a, b) es un punto crítico de f. Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

Extremos de una función

Ejemplo 2 Solución: Identificar los extremos relativos de la función f (x,y) = x 3 –y 3 + 6xy los puntos críticos se encuentran resolviendo simultáneamente: De la primera ecuación, se obtiene que se puede sustituir en la segunda ecuación para encontrar Por lo tanto hay dos puntos críticos: (0, 0) y (2, –2)

Las derivadas parciales de segundo orden de f (x,y) = x 3 –y 3 + 6xy son: Por lo tanto : Para (0, 0): Se deduce que f tiene un punto silla en (0, 0): Para (2, –2): Se deduce que f tiene un mínimo relativo en (2, –2) y

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE APLICACIÓ SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE APLICACIÓN Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x +2y +3z = 6. Como z =(2 – x/3 – 2y/3), el volumen de la caja es V = xy(2 – x/3 – 2y/3). Nos interesa solo x > 0 y y > 0. Entonces, Por lo tanto : Así: Esto nos dice que el volumen es máximo cuando las dimensiones de la caja son x = 2, y = 1 y z =2/3. El volumen máximo es V = 4/3 u 3.

Reflexión sobre lo Aprendido ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver mediante los valores extremos de una función de varias variables? ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios? ¿De qué manera resolvieron las dificultades encontradas?

BIBLIOGRAFÍA # CÓDIGOAUTORTÍTULO EDITORIAL PURC PURCELL, EDWIN J. Cálculo Diferencial E Integral Pearson Educación STEW/M 2002 STEWART, JAMES Cálculo Multivariable Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson HOFF/C 2006 HOFFMANN, LAURENCE D. Cálculo Aplicado Para Administración, Economía Y Ciencias Sociales Octava edición, México 2007,.Mcgrawhill