Problemas de optimización.

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1 Problemas de optimización.

2 Habilidades Identifica los tipos de problemas de optimización. Resuelve problemas de optimización, siguiendo instrucción heurística.

3 Pasos para la solución Pasos para la solución de problemas de optimización Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita? ¿cuáles son las cantidades dadas? ¿cuáles son las condiciones dadas? Dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas. Introducir una notación. Asignar símbolos a la cantidad que se va a maximizar o minimizar y a las cantidades descono- cidas. Relacionar las cantidades conocidas y desconocidas median- ecuaciones. Eliminar variables hasta expresar la cantidad requerida en términos de una variable. Aplicar los métodos estudiados para hallar el máximo o el mínimo absoluto de la cantidad requerida.

4 Problemas Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a o largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Área x y

5 Prueba de la primera derivada
Prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos Sea c un punto crítico de una función continua f definida sobre un intervalo abierto. Si f ’(x) > 0 para todo x < c y f ’(x) < 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor máximo absoluto de f. Si f ’(x) < 0 para todo x < c y f ’(x) > 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor mínimo absoluto de f.

6 Problemas Se va a producir una lata cilíndrica para que contenga 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo del metal para producir la lata. h r Costo

7 Algunas combinaciones
Radio (cm) Altura (cm) 2 79.6 4 6 8 19.9 8.86 4.97 10 3.18

8 Latas de un litro r = 2 r = 4 r = 6 r = 8 r = 10

9 Fabricación de la lata r 2pr h r

10 Usando Derive para ver la gráfica
Material requerido r (cm) 2 h (cm) 79.60 S (cm2) 1025 4 6 8 10 19.90 S(r) = 2000/r + 2pr2 Usando Derive para ver la gráfica

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12 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA VARIABLE
Se tratan de problemas en lo cuales se desea encontrar la solución optima Una o más ecuaciones de enlace Una función objetivo Un intervalo de decisión

13 Problemas Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea posible. Podría remar en su bote, cruzar el río directamente hasta el punto C y correr hasta B; podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km|h y correr a 8 km|h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? A C D B 8 km 3 km Tiempo

14 Problemas Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. (x,y) x y O r -r 2x Área visualcalculus

15 Problemas Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. O r rcosΘ rsenΘ Θ Área

16 Problemas Encuentre el punto sobre la parábola y2=2x más cercano al punto (1; 4). x 2 Distancia

17 Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 4.7 Ejercicios 4.7 pág 334: 7, 8, 11, 12, 15, 17.