UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA FACULTAD DE INGENIERÍAS CARRERA DE ELECTRÓNICA CALCULO DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES Autor: QUISHPE RIVERA.

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA FACULTAD DE INGENIERÍAS CARRERA DE ELECTRÓNICA CALCULO DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES Autor: QUISHPE RIVERA LUIS FERNANDO

2 OBJETIVO GENERAL Conocer y comprender las diferentes formas de resolver derivas parciales.

3 OBJETIVO ESPECIFICO Comprender incrementos y diferenciales. Entender que es la regla de la cadena Conocer la diferenciación implícita. Conocer sobre Derivadas direccionales y su vector gradiente Conocer acerca de planos tangentes y rectas normales a las superficies Aprender que son máximos y mínimos de funciones de varias variables Entender que son los multiplicadores de Lagrange

4 Incremento y diferenciales Siempre se aplica a una función real en variable real y=f(x) El incremento en una variable significa el cambio que sufre un valor a otro, este incremento se obtiene con la diferencial del valor final menos el valor inicial. Incremento : Formula de incremento:

5 Diferencial Despejamos Nota: El incremento tiene un valor mas grande que el diferencial.

6 Ejemplo Sea la función

7 Regla de la cadena La regla de la cadena es la composición o producto de 2 funciones

8 Ejemplos

9 Derivada implícita Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

10 ejemplo

11 Derivadas direccional y vector gradiente Derivadas direccional y vector gradiente Derivada direccional Es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección Si f es una función diferencial de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario es

12 Vector gradiente Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente.

13 Planos tangentes y rectas normales a las superficies Plano tangente Se llama plano tangente a una superficie (S) en un punto P de las misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P Ecuación

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15 Rectas normales a las superficies Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente

16 Máximos y mínimos de funciones de varias variables Máximos y mínimos de funciones de varias variables Un máximo (ó mínimo) absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor. Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. Es decir, si es un extremo con respecto a los puntos cercanos.

17 Sean f una función de clase C2C2 en un abierto del plano que es entorno del punto a, siendo a un extremo relativo Llamamos a las derivadas parciales de f en a del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de f en a como

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19 Multiplicadores de Lagrange Es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición: donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas porcurvas de nivel

20 Conclusiones El incremento en una variable significa el cambio que sufre un valor a otro, este incremento se obtiene con la diferencial del valor final menos el valor inicial La regla de la cadena es la composición o producto de 2 funciones

21 Derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección Vector gradiente se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente.

22 Plano tangente se llama plano tangente a una superficie (S) en un punto P de las misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. Recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente

23 Un máximo (ó mínimo)de varias variables es absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor. Multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones

24 La Derivada Parcial Es Facil Manual Autodidactico,Libro de José Manuel Casteleiro Larson,Ron, calculo II http://www.wikimatematica.org/index.php ?title=Derivadas_parciales Bibliografía: