MÉTODOS NUMÉRICOS ..

Presentación del tema: "MÉTODOS NUMÉRICOS .."— Transcripción de la presentación:

1 MÉTODOS NUMÉRICOS .

2 OBJETIVO Usar algoritmos para la solución de modelos de difícil solución algebraica en diversos campos de aplicación de la ingeniería

3 Programa de la materia FUNDAMENTOS: Errores, estabilidad y convergencia. SERIE DE TAYLOR RAICES DE ECUACIONES RESOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES. APROXIMACION: Ajuste e interpolación INTEGRACION Y DIFERENCIACION NUMERICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

4 Bibliografia Chapra Steven C. Métodos numéricos para ingenieros, McGrawHill, M+exico, 5ta edición, 2006. Mathews Jonh, Métodos numéricos con MATLAB, 3ra edición, Prentice Hall, España, 2000. Nakamura, Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, México

5 Importancia de los Métodos Numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Clase1Lb.ppt 5

6 Análisis Numérico Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

7 INTRODUCCION Tipo de problema

8 INTRODUCCION Modelo matemático

9 INTRODUCCION Método numérico

10 Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...

11 INTRODUCCION EQUIPOS: Computadora Calculadora

12 Función polinomial Definición La función:
se conoce como función polinomial de n–simo grado. También se hará referencia a P(x) como un polinomio de grado n Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio y pueden ser reales o complejos.

13 El dominio de la función puede ser el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos. Las soluciones de la ecuación las llamamos raíces de la función P. Si los coeficientes de la función son reales y la raíz también, tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica de la función.

14 Raíz = cruce por el eje X f(x) x

15 Teorema del Residuo: El residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c). Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.

16 Ejemplo: Determine el residuo de la división de P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x De acuerdo con el teorema del residuo: R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – = 3 Comprobando por división sintética: | | 3  Residuo

17 Teorema del Factor: Si el residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x). Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de P(x).

18 Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + 3x Buscamos el residuo: Por el teorema del residuo: R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = = 0 x + 1 es factor. Por división sintética: -1| |0  Residuo x + 1 es factor

19 Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2. Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación. Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0 x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida. Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

20 Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución.
Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x entre x + 1 1 | Escribimos: x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 ) | 0 | = 0 ( Dividendo = divisor x cociente + residuo ) entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya sea factorizando o por la fórmula cuadrática. En este caso factorizamos: ( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3. Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }

21 Ejemplo: Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir : – – 5 20 110 520 2575 4 22 104 515 2576

22 Ejercicios

23 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
Rafael Guzmán Cabrera Abril-2009 Campus Irapuato-Salamanca División de Ingenierías