Prof: Nancy Andrades Derivadas parciales Aproximación por la diferencial.

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1 Prof: Nancy Andrades Derivadas parciales Aproximación por la diferencial

2 Cálculo III (A, C y E) Definición: Una función f, en n variables es una regla que asigna a cada n-upla (x 1,x 2,........x n ) de números reales, un único número real z, denotado por f (x 1,x 2,........x n ) ; esto es ; f :  n   (x 1,x 2,......x n )  f (x 1,x 2,......x n ) Definición: Si f es una función en n variables x 1,x 2,........x n, la derivada parcial de f con respecto a su j-esima variable x j, se obtiene derivando f con respecto a esa variable x j, permaneciendo las demás variables constantes. Función en n variables

3 Cálculo III (A, C y E) Notación para una función en dos variables Sea z = f(x,y), función en las variables x e y La derivada de f con respecto a la variable x se escribe: (se lee parcial de z con respecto a x) La derivada de f con respecto a la variable y se escribe: (se lee parcial de z con respecto a x)

4 Cálculo III (A, C y E) Ejemplo Hallar las derivadas parciales f x, f y para las funciones dadas: 1.- f(x,y) = 2x 4 y 3 - xy 2 f x (x,y) = 8x 3 y 3 - y 2 f y (x,y) = 6x 4 y 2 - 2xy 2.- f(x,y) = xe y + ysen(2x) f x (x,y) = e y + 2ycos(2x) f y (x,y) = xe y + sen(2x)

5 Cálculo III (A, C y E) Ejercicios Hallar las derivadas parciales f x y f y para cada una de las funciones dadas: 1.- f(x,y) = e x Ln(x 2 y) 2.- f(x,y,z) = xe z - xye x + ze -y 3.- f(x,y) = 2x 8 y 3 + xy 5 + 3y + 14 4.- f(r,s,t) = r 2 e 2s cost 5.- f(x,y,z) = xe z – ye x + ze -y 6.-

6 Cálculo III (A, C y E) Interpretación geométrica (x, y 0, f(x, y 0 )) (x 0, y, f(x 0, y )) f x es la pendiente de la recta tangente a la curva, sobre el plano y = y o. Derivada en la dirección de x. f y es la pendiente de la recta tangente a la curva sobre el plano x = x o. Derivada en la dirección de y.

7 Cálculo III (A, C y E) Ejemplo Sea la función de dos variables, f(x,y) = 9 - x 2 - y 2. Determine la pendiente de dicha superficie en el punto (2, 1, 4), en las direcciones de x e y. Pendiente en la dirección de x ¿Como se determina la recta tangente en dicho punto? Pendiente en la dirección de y

8 Cálculo III (A, C y E) … Continuación 3 -3 3 9 z = 9 - x 2 - y 2 Usando la ecuación punto-pendiente: y - y 0 = m(x – x 0 ) ya que estamos sobre un plano La recta tangente sobre el plano y = y 0 es: y – 1 = -4(x – 2)  y = -4x + 9 La recta tangente sobre el plano x = x 0 es: y – 1 = -2(x – 2)  y = -2x + 5

9 Cálculo III (A, C y E) Derivadas parciales de segundo orden Si z = f(x,y), la derivada parcial de f x con respecto a la variable x es: La derivada parcial de f y con respecto a la variable y es:

10 Cálculo III (A, C y E) Derivadas parciales cruzadas Si z = f(x,y), la derivada parcial de f x con respecto a la variables y es: La derivada parcial de f y con respecto a x es: Estas derivadas cruzadas siempre son iguales puesto que las funciones son continuas

11 Cálculo III (A, C y E) Ejemplo Sea la función en dos variables f(x,y) = x 3 e -2y + y -2 cosx, entonces f x (x,y) = 3x 2 e -2y - y -2 senx f y (x,y) = -2x 3 e -2y -2y -3 cosx f xy (x,y) = -6x 2 e -2y + 2y -3 senx f yx (x,y) = -6x 2 e -2y + 2y -3 senx

12 Cálculo III (A, C y E) Ejercicios 1.- Determine las segundas derivadas parciales f xx, f yy, f xy de la función de dos variables: f(x,y) = 3xy 2 - 2y + 5x 2 y 2. Calcule el valor de f xy (2, 1). 2.- Pruebe que f xz = f zx y que f xzz = f zzx para la función de tres variables: f(x,y,z) = ye x + xLnz

13 Cálculo III (A, C y E) Aplicación (análisis marginal) Nota: Es la practica de usar una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en su variables independiente. Recordemos que para la función de una variable: y = f(x), si se incrementa x en 1 unid, la variación de f es:  f = f(x + 1) – f(x)  f’(x) Entonces: Si z = f(x,y) y se tiene una variación de x en 1 unidad permaneciendo y constante se tendrá:  z = f(x + 1,y) – f(x,y)  f x (x,y) Análogamente:  z = f(x,y + 1) – f(x,y)  f y (x,y)

14 Cálculo III (A, C y E) Ejemplo: Problema 27, pág 506 Producción diaria: Q(k,L) = 60k 1/2 L 1/3 unidades k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000. L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. La inversión actual es de $900.000 y se utilizan 1000 h-t. Estime el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de $1000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.

15 Cálculo III (A, C y E) …continuación El objetivo es determinar la variación de la producción en los niveles actuales: k = 900 y L = 1000 si  k = 1. Ahora bien:  Q(k,L)  Q k (k,L) Entonces para: Q k (k,L) = 30k -1/2. L 1/3 La producción diaria aumentará en 10 unidades aproximadamente, si hay un incremento de mil $ en la inversión de capital.

16 Cálculo III (A, C y E) Aproximación por la diferencial total Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si  x representa un cambio pequeño en x y  y un cambio pequeño en y, entonces el correspondiente cambio en z viene dado por:  f  f x  x + f y  y = df (diferencial total) f x  x es el cambio en f con respecto a x, cuando y no varía f y  y es el cambio en f con respecto a y, cuando x no varía

17 Cálculo III (A, C y E) Ejercicio Problema 38: pág 521 (Hoffmann) En cierta fábrica la producción diaria es Q(k,L) = 120k 1/2.L 1/3 unidades, donde K es la inversión de capital (miles de $) y L es el tamaño de la fuerza laboral (horas-trabajador). Nivel actual de inversión $400.000, tamaño de fuerza laboral 1.000 h-t. Estime el cambio resultante en la producción si la inversión de capital aumenta en $500 y la mano de obra se incrementa en 4 horas- trabajador.

18 Cálculo III (A, C y E) Solución Objetivo, determinar el cambio de la producción en los niveles actuales k = 400 y L = 1000 si  k = 500 y  L = 4. Ahora bien:  Q(k,L)  dQ(K, L) = Q k (k, L)  k + Q L (k,L)  L La producción diaria aumentará en unidades aproximadamente si hay una inversión de capital adicional de $ mil y las horas trabajador se incrementan en 4.

19 Cálculo III (A, C y E) Ejercicios 1.- Problema 40: pág 522 (Hoffmann) Un editor calcula que si invierte x miles de $ en desarrollo e y miles de $ en promoción, se venderán aproximadamente Q(x,y) = 20x 3/2 y ejemplares de un libro. Actualmente los planes exigen una inversión de $36.000 en desarrollo y $25.000 en promoción. Estime el cambio resultante en las ventas, si la cantidad invertida en desarrollo aumenta en $500 y la invertida en promoción disminuye en $500. 2.- Para :. Aproxime el valor f(4.1, 1.9, 9.1),

20 Cálculo III (A, C y E) Aproximación porcentual Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si  x representa un cambio pequeño en x y  y un cambio pequeño en y entonces el cambio porcentual en z es: Cambio porcentual en z

21 Cálculo III (A, C y E) Ejemplo Producción diaria: Q(k,L) = 60k 1/2 L 1/3 unidades k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000. L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Estime el porcentaje de cambio en la producción diaria si la inversión de capital aumenta en 1% y la fuerza laboral aumenta en 2%. (  k = 0,01K y  L = 0,02L)