CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES. Plano tangente. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería.

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1 CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES. Plano tangente. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Bibliografía de la Clase 13: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.

2 Sea dada una función real de dos variables f(x,y), definida en una abierto D. Sea dado un punto DEFINICIÓN: Plano tangente a la superficie gráfica z= f(x,y) en el punto es (si existe) el plano que contiene a todas LAS RECTAS TANGENTES por el punto a las CURVAS CONTENIDAS EN LA SUPERFICIE, que pasan por Ver figura siguiente

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4 TEOREMA. Si f(x,y) es diferenciable en el punto entonces existe plano tangente a la superficie gráfica por y tiene por ecuación donde

5 sigue

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7 CLASE 13 PARTE 2: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES. Vector gradiente. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Bibliografía de la Clase 13: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.

8 Sea dada f función REAL de q variables en un abierto D y un punto a en D. DEFINICIÓN: Si f es diferenciable en a se define el vector gradiente de f en el punto a: NOTA: Si f no es diferenciable en a NO SE DEFINE vector gradiente de f en el punto a, aunque existan las derivadas parciales respectivas.

9 DIFERENCIAL Y GRADIENTE: El diferencial de f en el punto a es el producto escalar del gradiente por el vector incremento Delta x. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE: Cuando f es dife- renciable en el punto a, la derivada direccional según la dirección del versor u es el producto escalar del gradiente por u.

10 PROPIEDADES DEL GRADIENTE: (cuando f es diferenciable) 1.La derivada direccional según u (pendiente de la gráfica en la dirección u) es nula si y solo si u es ortogonal al vector gradiente de f. CONSECUENCIA: El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las curvas de nivel de f(x,y). El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las superficies de nivel de f(x,y,z)

11 2. La derivada direccional según u (pendiente de la gráfica en la dirección u) es máxima si u es colineal al vector gradiente de f. Dem.

12 Como consecuencia de la propiedad 1, vimos que EJEMPLO: Encontrar la recta tangente a la hipérbola xy =1 por el punto (1/2, 2).

13 CLASE 13 PARTE 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Bibliografía de la Clase 13: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.

14 TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones reales) Sea definida en un abierto D. Sean dos puntos tales que Si f es diferenciable entonces

15 Dem. sigue

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17 TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones vectoriales) Sea definida en un abierto D. Sean dos puntos tales que Si f es diferenciable entonces

18 EN GENERAL PARA FUNCIONES VECTORIALES NO SUCEDE LO MISMO QUE PARA FUNCIONES REALES. PARA FUNCIONES VECTORIALES NO NECESARIAMENTE EXISTE sino: