@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 U.D. 8 * 2º BCS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 U.D. 8 * 2º BCS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 U.D. 8.4 * 2º BCS OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL Es aquella que el enunciado nos señala que su valor debe ser el mayor posible (Máximo) o el menor posible (Mínimo). Si presenta una sola incógnita, y = f(x), se deriva la expresión respecto de la misma y la derivada se iguala a cero. Resolviendo la ecuación resultante tendremos el valor de ‘x’ para el cual el valor de la función, el valor de ‘y’, es máximo o mínimo. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) AUXILIAR Tenemos que obtener del enunciado tantas ecuaciones auxiliares como incógnitas menos una. Despejando y sustituyendo, al final tendremos que tener una sola ecuación, la principal, con una sola incógnita. Derivamos respecto de dicha incógnita e igualamos a cero la expresión derivada. Resolviendo la ecuación habremos encontrado el valor o valores de las incógnitas para los cuales la función presenta un valor máximo o mínimo relativo.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Ejercicio_1: Hallar dos números tales que su suma sea 24 y su producto sea el mayor posible. Resolución: Sean x e y los dos números pedidos. Ecuación Principal: Producto: P = x.y ( dos incógnitas) Ecuación Auxiliar : Suma: 24 = x + y Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = 24 - x Sustituimos su valor en la E. Principal : P = x. (24-x) O sea P = 24.x – x 2, derivamos e igualamos a cero P´ = 24 – 2.x = 0 ; y resolvemos: 24 = 2x  x = 12  Como y = 24 – x = 24 – 12 = 12  x= y = 12 es la solución. Ejercicio 1 Optimización

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Ejercicio_2: Hallar dos números tales que su producto sea 16 y su suma la mayor posible. Resolución: Sean x e y los dos números pedidos. Ecuación Auxiliar: Producto: 16 = x.y ( dos incógnitas) Ecuación Principal: Suma: S = x + y Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = 16 / x Sustituimos su valor en la E. Principal : S = x + (16/x) O sea S = (x 2 + 16)/x derivamos e igualamos a cero S´ = (2.x 2 – x 2 – 16)/x 2 = 0 ; y resolvemos: x 2 – 16 = 0  x = +/- 4 Como y = 16/x = +/- 4  x = y = 4 es una solución. Como y = 16/x = +/- 4  x = y = – 4 es otra solución NO válida. Ejercicio 2 Optimización

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Ejercicio_3: En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 6·√2 cm. Hallar los catetos sabiendo que la suma de éstos es la mayor posible. Resolución: Sean x e y los catetos. Ecuación Auxiliar:Hipotenusa: 6·√2 = √(x 2 + y 2 ) ( dos incógnitas) Ecuación Principal:Suma: S = x + y Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = √(72 – x 2 ) Sustituimos su valor en la E. Principal : S = x + √(72 – x 2 ) Derivamos e igualamos a cero S´ = 1 + (– 2.x 2 ) / 2√(72 – x 2 ) = 0 ; y resolvemos: √(72 – x 2 ) – x 2 = 0  √(72 – x 2 ) = x 2  72 – x 2 = x 4  x 4 + x 2 – 72 = 0  Bicuadrada x 2 = (- 1 +/- √(1+288))/ 2 = ( - 1 + 17)/2 = 8  x = √ 8, y = 8 es una solución. x 2 = (- 1 +/- √(1+288))/ 2 = ( - 1 – 17)/2 = – 9  x = – 9 No es una solución. Ejercicio 3 Optimización

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad en cientos de euros viene dada en función de la cantidad que se invierta por medio de la siguiente expresión: R(x)=-0.01 x2+5x +25 a) Deducir razonadamente que cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan Resolución Hacemos la derivada: R’(x) = - 0,02.x + 5 Igualamos a cero: -0,02.x+5 = 0  x = 5 / 0,02 = 250 cientos de € Hacemos la segunda derivada: R’’(x) = - 0,02 < 0  Es un máximo b) Que rentabilidad obtendría? Resolución R(250 ) = - 0,02. 2502 + 5. 250 + 25 = - 1250 + 1250 + 25 = 25 Aplicación 1 Optimización

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 El coste de la producción de x unidades diarias de un determinado producto es C(x)= 1/4 x2+35x+25 y el precio de venta de una de ellas es (50 – x/4) euros. Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea el Máximo Resolución Bº (x) = V(x) – C(x) = = (50 – x/4).x – (1/4 x2+35x+25) Bº (x) = 50.x – x2/ 4 – 1/4 x2 - 35x -25 = - 0,5 x2 + 15x - 25 Derivando e igualando a cero: B’ (x) = - x + 15 = 0  x = 15 Aplicación 2 Optimización

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Problema_1 Una alambrada de 100 m rodea a una finca rectangular bordeada por un río. Hallar sus dimensiones sabiendo que la superficie que abarca es la mayor posible. Resolución: Sean l y a el largo y el ancho de la finca. Ecuación Principal: Superficie: S = l.a ( dos incógnitas) Ecuación Auxiliar : Alambrada: 100 = l+2a a a l Problema 1 Optimización

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 … Resolución: Despejamos “l” de la E. Auxiliar: l = 100 – 2.a Sustituimos su valor en la E. Principal: S = (100-2.a).a O sea S = 100.a – 2.a 2 derivamos e igualamos a cero S´ = 100 – 4.a = 0 ; 100 = 4.a a= 100/4 = 25  l = 100 – 2.a l =100 – 50 = 50 m Solución: a=25 m, l = 50 m Superficie= 25.50 = 1250 m 2

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Problema_2 Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio para que el área del mismo sea el mayor posible. Resolución: Rectángulos inscritos en una determinada circunferencia hay infinitos, pero sólo uno de ellos tendrá un área mayor que los demás. Ø=10 b a El diámetro, que es el doble del radio, es siempre la diagonal de cualquier rectángulo inscrito en la circunferencia. Problema 2 Optimización

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 Resolución: Rectángulos inscritos en una determinada circunferencia hay infinitos, pero sólo uno de ellos tendrá un área mayor que los demás. Ecuación Principal: Area  A = a.b ( hay dos incógnitas, a y b ) Ecuación Auxiliar : 10 2 = a 2 + b 2 por Pitágoras. Despejamos “a” de la E. Auxiliar: a = √ ( 100 – b 2 ) Sustituimos su valor en la E. Principal : A = b. √ ( 100 – b 2 ) Ø=10 b a

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 … Resolución: Introducimos b dentro de la raíz para facilitar la derivada: A= √ ( 100.b 2 – b 4 ) = ( 100.b 2 – b 4 ) 1/2 derivamos e igualamos a cero A’ = (1/2). ( 100.b 2 – b 4 ) 1/2 - 1.(200.b - 4.b 3 ) = 0 ; o sea: (200.b - 4.b 3 ) / 2. ( 100.b 2 – b 4 ) 1/2 = 0 200.b – 4.b 3 = 0  Factorizado  4.b.(50 – b 2 ) = 0 O sea 4.b.(7,07 + b).(7,07 – b) = 0 b= 0 NO vale, b=- 7,07 NO vale b = 7,07 Vale como solución a = √ ( 100 – b 2 ) = √ ( 100 – 50 ) = 7,07 = a Solución: CUADRADO