Integrales Impropias (II) Integrales impropias. Teoría II

Integrales impropias. Teoría II Definición La integral es impropia si: El intervalo de integración no está acotado. La función f no está definida o no está acotada en puntos que pertenecen al intervalo de integración Ambas cosas. Integrales impropias. Teoría II

Integrales impropias. Teoría II Definición Suponiendo que la función f es continua en el intervalo [a, b) se tiene que: Si el límite existe y es finito , la integral impropia converge, y Si la integral no converge, entonces la integral diverge. Integrales impropias. Teoría II

Integrales impropias. Teoría II Ejemplo Suponiendo que p ≠ 1 Lo anterior es cierto si 1 - p < 0. Si 1 - p ≥ 0, la integral diverge. Integrales impropias. Teoría II

Integrales impropias. Teoría II Ejemplo NOTA: Supongamos que p > 0, y p ≠ 1 pues si p ≤ 0, la integral no es impropia. Suponiendo que 1 - p > 0, i.e. p < 1. Integrales impropias. Teoría II

Integrales impropias. Teoría II Ejemplo Suponiendo que a ≠ 0. Suponiendo que a < 0. Si a ≥ 0, la integral impropia diverge. Integrales impropias. Teoría II

Integrales Impropias Básicas 1 converge si p > 1. 2 converge si p < 1. converge si a < 0. 3 Integrales impropias. Teoría II

Integrales Impropias Básicas 4 converge si p < -1. 5 converge si p > -1. Para todos los demás valores del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Integrales impropias. Teoría II

Convergencia de las Integrales Impropias A menudo no es posible calcular el límite de la definición de un integral impropia directamente. Con el fin de averiguar si la integral converge o no, se puede tratar de comparar la función que se integra con otra que pertenezca a una integral que ya conocemos. Integrales impropias. Teoría II

Convergencia de las Integrales Impropias Consideremos la integral impropia La gráfica de la función se muestra en la figura. Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación La integral impropia converge si el área que encierra la curva y el eje x es finita. Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación La integral impropia converge si el área que encierra la función y el eje x es finita. En esta gráfica se puede estudiar a partir de la curva azul que es una función más simple y podemos ver fácilmente si encierra un área finita. Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Observar que, para todo x se verifica La curva es la gráfica azul. y la roja es la de la función Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Siendo y siendo concluimos que converge. Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Teorema A Sea -∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que se verifica que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, con a < x < b. Si la inegral converge, entonces también lo hará y Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Teorema B Sea ∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, a < x < b. Si la integral diverge, entonces también lo hará . Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Ejemplo Converge la integral ? Solución Sabemos que 0 <sin x< x, para 0 < x ≤ 1. Por tanto para 0 < x ≤ 1. Integrales impropias. Teoría II

Teorema de Comparación Ejemplo Converge la integral l ? Solución (continuación) Se tiene: para 0 < x ≤ 1 Como la integral diverge, entonces diverge . Integrales impropias. Teoría II

Integrales Impropias Básicas 1 converge si p > 1. 2 converge si p < 1. converge si a < 0. 3 Integrales impropias. Teoría II

Integrales Impropias Básicas 4 converge si p < -1. 5 converge si p > -1. Para cualquier otro valor del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Usar el Teorema de Comparación para ver la convergencia o divergencia de integrales impropias comparándolas con estos cinco tipos de integrales. Integrales impropias. Teoría II

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä