Punto medio de un segmento Clase 150 Punto medio de un segmento y ? B M A x

Estudio individual de la clase anterior Dado el paralelogramo ABCD, cuyos vértices son los puntos A(–2; 1) , B(1; 4) , C(6; – 1) y D(3 ; – 4). Represéntalo en un sistema de coordenadas rectangulares. a) b) Investiga si ABCD es un rectángulo.

AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 6 B 4 A 1 3 6 x –2 1 –1 C –4 D AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 BD= (xD – xB)2 + (yD – yB)2

AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 Como AC= BD entonces el paralelogramo es un rectángulo. = (6– (–2)) 2+ (– 1 – 1)2 = (8)2+ (– 2)2 = 64 + 4 = 68 =2 17 BD= (xD – xB)2 + (yD – yB)2 = ( 3– 1) 2+ (– 4 – 4)2 = (2)2+ (– 8)2 =2 17 = 4 + 64 = 68

M M y B 5 Teorema 4 pág. 67 L.T. onceno grado. 1 + 5 2 = 3 3 (4;3) y2 + y1 2 1 A 2 6 4 x 2 + 6 2 x2 + x1 2 M = 4 ;

Teorema 4 Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ; B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM;yM) de AB son: xA + xB 2 M yA + yB ;

En el ABC, MM’ es paralela media, luego B M yM Demostración y En el ABC, MM’ es paralela media, luego B yB M yM M’ yA C A AC = 2 MM’ , xM xA xB x es decir, xB – xA = 2(xB – xM) xB – xA = 2 xB – 2 xM xA + xB xM= – xB – xA = – 2 xM 2

Ejercicio 1 Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2;–3) y B(–4;5). Halla el centro de dicha circunferencia.

M M M 2+(– 4) –3 + 5 El centro de la circunferencia es M (–1;1) –2 Como los extremos de uno de los diámetros son los puntos A(2;– 3) y B(– 4;5), entonces el centro de la circunferencia es el punto medio del AB . M xA + xB 2 ; yA + yB M 2+(– 4) 2 ; –3 + 5 M 2 ; –2 El centro de la circunferencia es M (–1;1)

Ejercicio 2 El punto P(3; –2) es un extremo del segmento PQ. Si el punto medio de este segmento tiene coordenadas M(2;1). ¿Cuáles son las coordenadas del extremo Q?

M P(3; –2) M(2;1) 2 1 xP + xQ 2 yP + yQ ; xP + xQ 2 yP + yQ 2 = = yQ = 2 – yP xQ = 4 – xP yQ = 2 + 2 xQ = 4 – 3 xQ = 1 yQ = 4 Q(1;4)

Para el estudio individual 1. Los puntos A(1;1), B(5;3), C(3;7) y D(–1;5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado. Halla las coordenadas del centro del cuadrado y calcula su área. Resp: (2;4) ; 20 u2 Resp: a) x>4 ó x<3 b) –2 2. Sea la función: g(x) = log2(x2 – 7x + 12) a) Determina el dominio de g b) Resuelve: g(x) – 2log4(9 – 3x) = 1