Punto medio de un segmento

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Santiago, 07 de septiembre del 2013
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MATEMÁTICAS II MEDIO PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC
REPASO CAPITULO 8 EN ESPAÑOL PARA 10MO GRADO SEGUNDO SEMESTRE
La circunferencia Matemáticas Preuniversitarias
Clase 180 Ejercicios sobre la ecuación de la parábola F V l y2 = 4px.
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
E.T.S. DE INGENIEROS DE MINAS
CUARTO GRADO B y D MATEMATICA AREAS 
EJERCICIOS DE CURVAS TÉCNICAS
CLASE 45.
CLASE 172 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
Ecuación de la recta.
Clase 131 3, ,653 1,0796 0, = 100 = 12 = 1950 = 450,2 = 2 Antilogaritmo.
Figura 1 Figura Ángulos adyacentes:
Ecuación de la parábola de eje paralelo a los ejes coordenados
GEOMETRÍA ESPACIO MÉTRICA
VECTORES EN EL PLANO Nivel 4º E.S.O..
Definición de logaritmo
Clase 133. b = 1 · 2 n b: número de bacterias al final de un período de tiempo dado. n: número de generaciones (1) b = B · 2 n (2) B: Es el número de.
CLASE 171 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
CLASE 19. a b s 1 2 b ´ < 1  < 2
CLASE 176 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS.
CLASE 38.  PROYECCIONES r P s AB A B R Q     N. M   
Clase 97 M N P Área de triángulos cualesquiera. A = b·h 1 2.
GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO VECTORES
Clase 183 y Intersección de parábola y circunferencia O x.
Clase 149 Geometría Analítica de la recta en el plano.
Clase x =1,221 logx = 3,4432 logx = 3,4432 Ejercicios sobre logaritmos y antilogaritmos.
Pendiente de una recta. Ejercicios.
Clase Ejercicios variados.
Clase 158 M mAB= Ejercicios xA+ xB yA+ yB de yB aplicación ; 2 yA
Clase 154 (distancia entre dos puntos, pendiente de una recta) y x
Integral Definida Es un concepto asociado al cálculo del área de la región limitada lateralmente por las rectas de ecuaciones x=a y x=b, inferiormente.
Clase 190 L r l i é b p o H a a.
Clase 110 Inecuaciones exponenciales 0,5x+5 > 0,52 ; x+5  2.
Intersección de elipse y recta
Clase Ejercicios variados.
Clase 159 y  = 450 o x Ecuación cartesiana y = x + 1 de la recta.
Clase 108 0,1 x > 0,1 3 luego x  3. a 0 = 1 a -n = a n 1 n veces a n = a · a ·…· a ;n  N a m n = a m n a  0; m,n  Z; n  1 a = x ssi x n = a n a 
Clase 186 x2x2x2x2 y2y2y2y2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 + = 1 x y 0 h k (x – h) 2 (y – k) 2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 + = 1.
Clase 98 Polígonos regulares.
FunciónFunción LogaritmoLogaritmo Clase 135. Función inversa Si f es una función inyectiva con dominio A e imagen B, entonces la función f –1 con dominio.
Ejercicios sobre la ley de los senos
Clase 176 y Ejercicios sobre circunferencia r 1 x 2.
Clase 101  . Una escalera automática está construida de modo que eleva 60,0 cm por cada 50,7 cm de recorrido horizontal. ¿Qué ángulo de elevación tiene.
X y 0 h k O P x y r Clase 173 x 2 + y 2 = r 2 (x – h) 2 + (x – k) 2 = r 2.
PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
Clase 109 Inecuaciones exponenciales 3x+5 > 32 , x+5 > 2.
Colegio El Valle Figuras semejantes
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA
Ejercicios sobre resolución de triángulo rectángulo
Clase 116. Estudio individual de la clase anterior Ejercicio 5 (e, l, r) pág. 13 L.T. Onceno grado. 3.r Para qué valores están definidos los siguientes.
X y 0 Clase 31. ¿Es el conjunto f={(x;y)| y = x 3 ; x  } una función?
5 x + 3 · 5 x + 2 = 5 – 30 5 x + 3 · 5 x = 5– 30 ( 2 x + 2 ) x – 2 = 2 2 x – 5 Clase 105.
X y Ejercicios sobre curvas de segundo grado Ejercicios sobre curvas de segundo grado Clase 197.
Unidad 3: Geometría Analítica en el Plano
Clase 137. Ejercicio 1 Sean las funciones : f (t) = 3 t + 2 · 1 9t9t g(x) = log 6 x + log 6 (x – 1) a) Halla el valor de t, tal que f(t) =  27. c) Esboce.
CLASE 68. 6m6m m 2 – 4 – 3 m – 2 : 12 m 2 – m – 6 2 b – 1 b 2 – 2 b b 2 + b – 10 b b + 1 b 2 – 1 : 9 b –15 Ejemplo 3 página 41 Lt 10 0 Ejemplo.
Clase x y. 2. Ejercicio 8 (a, c) pág. 41 L.T. Onceno grado Estudio individual de la clase anterior a) f(8x – 3) = 25 si f(x) = 5 x si f(x) = 2.
8,8250… 1 akakakak1a a a …  a Clase 104 an=an=an=an= ? n veces a –k = ? a = mn ? a0=a0=a0=a0= ? 23,1416= ?  am am am amn.
Recuerda. La circunferencia
 Pendiente de una recta. Ejercicios. x y x A y A A x B y B B M xM xM yM yM Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento.
Clase 92 a2a2a2a2 b2b2b2b2 c2c2c2c2  a2= b2+ c2 – 2bc cos 
Clase 136. Ejercicio 1 Representa gráficamente la función g(x) = log2(x + 3) + 1. Analiza sus propiedades.
Clase 149 Geometría Analítica de la recta en el plano.
Definición de logaritmo
Clase 116 Ecuaciones logarítmicas.
Distancia de un punto a una recta
Clase 122 log2 10 = log2 2 + log2 5 log5 (x + 9) = 1 – log5 x
Antilogaritmo 2,653 1,0796 3,290 0, = 100 = 450,2 = 12 = 1950 = 2.
Transcripción de la presentación:

Punto medio de un segmento Clase 150 Punto medio de un segmento y ? B M A x

Estudio individual de la clase anterior Dado el paralelogramo ABCD, cuyos vértices son los puntos A(–2; 1) , B(1; 4) , C(6; – 1) y D(3 ; – 4). Represéntalo en un sistema de coordenadas rectangulares. a) b) Investiga si ABCD es un rectángulo.

AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 6 B 4 A 1 3 6 x –2 1 –1 C –4 D AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 BD= (xD – xB)2 + (yD – yB)2

AC= (xC – xA)2 + (yC – yA)2 Como AC= BD entonces el paralelogramo es un rectángulo. = (6– (–2)) 2+ (– 1 – 1)2 = (8)2+ (– 2)2 = 64 + 4 = 68 =2 17 BD= (xD – xB)2 + (yD – yB)2 = ( 3– 1) 2+ (– 4 – 4)2 = (2)2+ (– 8)2 =2 17 = 4 + 64 = 68

M M y B 5 Teorema 4 pág. 67 L.T. onceno grado. 1 + 5 2 = 3 3 (4;3) y2 + y1 2 1 A 2 6 4 x 2 + 6 2 x2 + x1 2 M = 4 ;

Teorema 4 Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ; B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM;yM) de AB son: xA + xB 2 M yA + yB ;

En el ABC, MM’ es paralela media, luego B M yM Demostración y En el ABC, MM’ es paralela media, luego B yB M yM M’ yA C A AC = 2 MM’ , xM xA xB x es decir, xB – xA = 2(xB – xM) xB – xA = 2 xB – 2 xM xA + xB xM= – xB – xA = – 2 xM 2

Ejercicio 1 Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2;–3) y B(–4;5). Halla el centro de dicha circunferencia.

M M M 2+(– 4) –3 + 5 El centro de la circunferencia es M (–1;1) –2 Como los extremos de uno de los diámetros son los puntos A(2;– 3) y B(– 4;5), entonces el centro de la circunferencia es el punto medio del AB . M xA + xB 2 ; yA + yB M 2+(– 4) 2 ; –3 + 5 M 2 ; –2 El centro de la circunferencia es M (–1;1)

Ejercicio 2 El punto P(3; –2) es un extremo del segmento PQ. Si el punto medio de este segmento tiene coordenadas M(2;1). ¿Cuáles son las coordenadas del extremo Q?

M P(3; –2) M(2;1) 2 1 xP + xQ 2 yP + yQ ; xP + xQ 2 yP + yQ 2 = = yQ = 2 – yP xQ = 4 – xP yQ = 2 + 2 xQ = 4 – 3 xQ = 1 yQ = 4 Q(1;4)

Para el estudio individual 1. Los puntos A(1;1), B(5;3), C(3;7) y D(–1;5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado. Halla las coordenadas del centro del cuadrado y calcula su área. Resp: (2;4) ; 20 u2 Resp: a) x>4 ó x<3 b) –2 2. Sea la función: g(x) = log2(x2 – 7x + 12) a) Determina el dominio de g b) Resuelve: g(x) – 2log4(9 – 3x) = 1