La circunferencia Matemáticas Preuniversitarias

Presentación del tema: "La circunferencia Matemáticas Preuniversitarias"— Transcripción de la presentación:

1 La circunferencia Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

2 De un pedazo de tela, ¿Cómo cortarías un mantel circular?
Podrías primero elegir el radio que quieres que tenga el mantel.

3 Después tomar una cinta con esa medida, fijar sobre la tela uno de los extremos de la cinta y desplazarla estirada en cualquier dirección. Ello determinará la orilla del mantel. Puedes observar que la distancia del centro a cualquier punto de la orilla del mantel es siempre la misma.

4 Definiciones Un círculo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Un círculo es el conjunto de los puntos en el plano que se encuentran a una distancia fija (radio) de un punto fijo (centro). Vamos a empezar con el círculo determinando la ecuación de uno de ellos que tenga centro en el origen.

5 Elevando al cuadrado tenemos x2+y2=16
Si queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan del origen 4 unidades, llamemos P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. P(x,y) 4 Como la distancia del origen a P(x, y) debe ser 4 entonces si llamamos O a el origen d(P,O)=4. Es decir Elevando al cuadrado tenemos x2+y2=16 El lugar geométrico tiene ecuación x2+y2=16

6 Podemos hacer esto mismo si deseamos encontrar la ecuación que satisface los puntos P(x, y) cuya distancia al origen O(0, 0) es igual a r, siendo r cualquier número no negativo, entonces vemos que dichos puntos deben satisfacer: d(P, O)=r y De aquí que x2+y2=r2 r x Así que la ecuación del círculo de radio r con centro en el origen es x2+y2= r2

7 Vamos a ver ahora una aplicación de lo anterior.
Ejercicio en equipo: Si un ángulo inscrito en un círculo subtiende un diámetro, entonces es recto. Solución: Podemos colocar al círculo con centro en el origen, Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son: A(xo,yo), B(-r,0), C(r,0) y al diámetro de referencia sobre el eje x. A(xo,yo) B(-r,0) C(r,0)

8 Como queremos ver que ese triángulo es rectángulo necesitamos probar que tiene un ángulo recto.
Llamamos m1 a la pendiente del lado AB y m2 a la pendiente del lado AC del triángulo. A B C

9 Para probar que el ángulo formado por esos dos lados es recto, debemos ver que AB y AC son perpendiculares, para ello debemos probar que: m1m2= -1 Como el punto A(xo, yo) está sobre el círculo, entonces: xo2+yo2=r2 xo2 - r2 = -yo2 Entonces, m1m2=-yo2/yo2= -1 Por tanto, los lados son perpendiculares y el ángulo es recto.

10 Ejercicio en equipo Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son los extremos de una cuerda del círculo x2+y2=r2, entonces la recta que une el punto medio del segmento PQ con el centro del círculo es perpendicular a la cuerda dada. Q P

11 Solución: El círculo x2+y2=r2 tiene centro C(0,0) y radio r.
El punto medio del segmento PQ es La pendiente de la recta que une este punto medio con el centro C(0,0) del círculo es:

12 La pendiente de la recta que pasa por P y Q es
Para ver que las dos rectas son perpendiculares debemos probar que m1m2= -1  Entonces: Como P está sobre el círculo, entonces x12+y12=r2 de donde y12=r2- x12 Análogamente y22 = r2 – x22 Así, Por lo tanto la cuerda que pasa por P y Q y la recta que pasa por el punto medio de la cuerda y el centro son perpendiculares.

13 Problema 1. Una mezquita tiene una entrada “de cerradura” formado por un rectángulo rematado por un círculo, como vemos en la siguiente figura. Deduce una ecuación del círculo que tenga esa posición respecto a los ejes. y 2.5 pies x 4 pies

14 Problema 2. Una propiedad muy buena que tienen las tapas de registros de drenaje es que no se pueden caer dentro del registro, independientemente de cómo estén orientadas. Compara esto con una tapa cuadrada, rectangular o triangular de registro. A pesar de la idea que tenga en contra, los círculos no son las únicas formas de tapas de registro que no se pueden caer dentro. Comienza con el triángulo equilátero que se muestra y, con arcos de círculos, diseña una tapa de registro que no sea redonda y que no se pueda caer dentro. y 3 -1 1 x

15 Problema 3. Para el tornillo de la siguiente figura, deduce una ecuación del arco circular con respecto a los ejes dados. Problema 4. Deduce las ecuaciones de las rectas tangentes a (x-4)2+y2=4 y (x+2)2+y2=1 Problema 5. Una banda debe pasar al rededor de dos poleas cuyos radios son 1 y 2 pulgadas, y sus centros están a 6 pulgadas de distancia. ¿Qué longitud debe tener la banda?

16 Problema 4. Dados dos círculos ¿cuántas rectas son tangentes a ambos?
Nota: Hay más de una respuesta, dependiendo de las posiciones relativas de los círculos. Respuesta: 0 si un círculo está totalmente adentro de otro 1 si son tangentes internamente 2 si los círculos se interceptan en dos puntos 3 si son tangentes externamente 4 si un círculo está totalmente fuera del otro