Clase x > 2 3 luego x > 3 log2x < log28 ¿Qué relación existe entre x y 8?

Definición de logaritmo log a b = x ssi a x = b loga b = x ssi ax = b (a > 0, a  1, b > 0 ) (a > 0, a  1, b > 0) Identidad fundamental logarítmica Identidad fundamental logarítmica a log b = b a a

 Si a > 1, x > y entonces ax > ay  Si 0 < a < 1, x > y entonces ax < ay Ejemplos para a = 4, con 3>2 se cumple que 43 > 42 para a = 0,2; con 5>3 se cumple que 0,25 < 0,23

 Si a > 1 y b > c entonces logab > logac  Si 0 < a < 1 y b b b b > c entonces logab < logac E j e m p l o s: E j e m p l o s: para a = 3 y 27 > 9 entonces log 3 27 log327 = 3 >> 2 = log 3 9 log39 para a =0,2 y 0,04 > 0,008 entonces log 0,2 0,04 = 2 << 3 = log 0,2 0,008 >> >>

 Si a > 1 y b > c entonces log a b > log a c Demostración: Supongamos l og a b  l og a c entonces por la monotonía de la potenciación a log b  a log c a a b  c b > c ¡ CONTRADICCIÓN !  l og a b > log a c

Ejercicio 1 Compara los siguientes logaritmos: a) log 5 40 y log 5 15 b) log 7 10 y log 7 10,5 c) log 0,3 25 y log 0,3 17 d) log 2  25 y log

a) log 5 40 y log 5 15 log 5 40 > log 5 15 b) log 7 10 y log 7 10,5 c) log 0,3 25 y log 0,3 17 log 7 10 < log 7 10,5 log 7 10 < log 7 10,5 log 0,3 25 < log 0,3 17 log 0,3 25 < log 0,3 17

d) log 2  25 y log log 8 36 log 2 36 log 2 8 = log = 3 1 log 2 36 = log 2  log 2 25 = como l og 2 25 < l og 2 36 e ntonces log 2  25 < log 8 36 log 2  25 < log 8 363

Ejercicio 2 Compara: a) log52 + log510 con 4log53 b) log0,318 – log0,30,2 con log0,34 + log0,36 c) l og 4  17 con log 16 17

a) l og l og 5 10 c on 4 log 5 3 log l og 5 10 = l og 5 (2·10) = log log 5 3 = l og = log581 como l ll log5 20 < log581 e ntonces l og l og 5 10 < << < 4 log 5 3

b) log 0,3 18 – log 0,3 0,2 con log 0,3 4 + log 0,3 6 log 0,3 18 – l og 0,3 0,2 = log 0,3 90 = log 0,3 18 0,2 log 0,3 4 + l og 0,3 6 = log 0,3 (4·6) = log 0,3 24 como l ll log0,390 < log0,324 e ntonces log 0,3 18– log 0,3 0,2 < << < l og 0,3 4 + l og 0,3 6

c) log 4  17 con log log 4  17 = log ,5 = 0,5 log417 log = log = log 4 17 como ,5 log417 = 0,5 log417 entonces log 4  17 = = log 16 17

Para el estudio individual Compara los siguientes logaritmos: a) log249 y log214 b) log0,29 y log0,215 d) log649 + log614 y 3log65 c) log750 – log710 y log75