Diferenciación/Introducción a la derivada Definición de derivada Derivadas como funciones Pendiente de la recta tangente Derivabilidad y diferenciabilidad Las derivadas desde el punto de vista gráfico Diferenciación/Introducción a la derivada

Definición de derivada Notaciones Observación: La derivada de una función f en un punto x0 es la pendiente de la recta tangente de la gráfica f en un punto (x0,f(x0)). Esto es un detalle geométrico muy importante. Diferenciación/Introducción a la derivada

La derivada como función Definición Si la función f es derivable en cada punto de su dominio, podemos asociar a f la función f’ cuyo valor en cada punto x es la derivada de la función f en x. Esta función es la función derivada f, llamada normalmente la derivada de f. Notación Diferenciación/Introducción a la derivada

Diferenciación/Introducción a la derivada Ejemplos de derivadas Ejemplo Hallar la derivada de la función f(x) = x2. Solución Calculando la derivada mediante definición obtenemos: Conclusión Si f(x) = x2, entonces f’(x) = 2x. Diferenciación/Introducción a la derivada

Diferenciación/Introducción a la derivada Ejemplos de derivadas Ejemplo Halla la derivada de la función Solución Calculando la derivada mediante la definición se tiene: Conclusión Si entonces Diferenciación/Introducción a la derivada

Pendiente de la recta tangente(1) Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de un función f en el punto (a,f(a)) se observa que: 1 2 Diferenciación/Introducción a la derivada

Pendiente de la recta tangente (2) Ejemplo Solución Conclusión Si f(x) = ex, entonces f’(1) = e. Diferenciación/Introducción a la derivada

Pendiente de la recta tangente(3) Ejemplo Solución (continuación) 1 y=ex La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ex en el punto x = 1 es y = e x. Conclusión Diferenciación/Introducción a la derivada

Gráficas de funciones y gráficas de sus derivadas Problema El dibujo de la derecha muestra las gráficas de dos funciones f y g y las de sus derivadas. Sabiendo que el mayor valor que toma la función f es mayor que el de g, ¿Qué gráfica es la de cada una? Solución Para averiguar cuales son las gráficas que representan las funciones, estudiaremos los puntos donde la tangente sea horizontal. En esos puntos la derivada es nula. ¿Qué gráfica es la de la función y cuál la de la derivada? La respuesta en la siguiente diapositiva. Diferenciación/Introducción a la derivada

Gráficas de funciones y gráficas de sus derivadas Df Problema El dibujo de la derecha muestra las gráficas de dos funciones f y g y las de sus derivadas. Sabiendo que el mayor valor que toma la función f es mayor que el de g, ¿Qué gráfica es la de cada una? f Solución La curva roja corta al eje X cuando la tangente de la curva azul es horizontal. Por lo que la curva roja es la gráfica de la derivada de la función f y la azul, la gráfica de f. g Dg La curva verde es estrictamente decreciente. Por lo que sus tangentes son negativas. La curva negra es la única que toma valores negativos. Por lo que la curva verde es la gráfica de la función g y la negra la de su derivada. Diferenciación/Introducción a la derivada

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä