No todos los números son Racionales

Presentación del tema: "No todos los números son Racionales"— Transcripción de la presentación:

1 No todos los números son Racionales

2 La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Pitágoras de Samos (murió entre a.C.) pensaba que todos los números eran racionales. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

3 La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Hipaso de Metaponto, un estudiante de Pitágoras, demostró, en el siglo V a.C que la raíz cuadrada de dos no es un número racional. 1 1 La raíz cuadrada de 2 no es racional.

4 Número Enteros, números Racionales y números Reales.
Notación: Números Naturales Enteros p y q no tienen factor común. Números Racionales La raíz cuadrada de 2 no es racional.

5 Número Enteros, números Racionales y números Reales.
Teorema: No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

6 Números Enteros, números Racionales y números Reales.
Ampliando el conjunto de números racionales con los números irracionales, la ecuación r2 = 2 tiene soluciones. Desde un punto de vista práctico, los números irracionales están tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Notación: Números Reales: R = { r | r racional o irracional }. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

7 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración Suponemos lo contrario (reducción al absurdo). Entonces existen dos números enteros p y q tales que p2/q2 = 2 siendo p y q primos entre sí (sin ningún factor común) Esto significa que p2 = 2q2. Demostraremos el teorema probando que ésto es absurdo. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

8 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) Si p2 = 2q2, el área B del cuadrado grande marrón es dos veces el área G del cuadrado verde. p q G B La raíz cuadrada de 2 no es racional.

9 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) Observa que como p y q son primos entre sí, son los números más pequeños que cumplen p2 = 2q2. p B G q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

10 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) Por lo tanto B y G , en el dibujo, son los cuadrados más pequeños de longitud de lado un número entero tales que el área de B es dos veces el área de G. p B G q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

11 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) Si se sitúa una copia del cuadrado verde en la esquina superior derecha del cuadrado más grande. A p p B I G A p-q q q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

12 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) La intersección I de los dos cuadrados verdes es el cuadrado I con el área I. A p p B I G A p-q q q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

13 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) La construcción implica que I = 2A. Como la longitud del lado de A es p − q la del lado del cuadrado I será p- 2(p-q) =2q − p. A p p B I G A p-q q q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

14 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración (continuación) I = 2A es ahora imposible, mientras G y B sean los los cuadrados más pequeños con B = 2G. A p p B I G A p-q q q La raíz cuadrada de 2 no es racional.

15 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración de Hipaso Supongamos lo contrario. Entonces existen dos números enteros p y q, que no tienen factor común tales que La raíz cuadrada de 2 no es racional.

16 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración de Hipaso Por lo tanto p2 = 2q2. Entonces p2 debe ser par. Pero esto es sólo posible si p es par (porque no es un número entero). Como p es par, es de la forma p = 2n para un entero n. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

17 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración de Hipaso La ecuación p2 = 2q2 entonces implica que (2n)2 = 2q2. Es decir: 4n2 = 2q2. Por tanto se tiene: 2n2 = q2. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

18 La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Teorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2. Demostración de Hipaso La ecuación 2n2 = q2 implica que q es par. Por lo tanto tanto p como q deberían ser pares Pero ésto es imposible, porque suponemos que p y q son primos entre sí. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

19 Otros Número Irracionales
Los siguientes números son famosos números irracionales: El número es irracional o un entero. er es irracional para los números racionales r tales que r ≠ 0. La raíz cuadrada de 2 no es racional.

20 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä