II. Nocions bàsiques de probabilitat (i un poquet d’estadística) a) Introducció El concepte de probabilitat apareix sovint, de vegades de manera imprecisa i/o inconscient, en la vida diària, i fins i tot molta de gent l’usa per a prendre decisions. En veure el cel núvol, notant una baixada de la pressió atmosfèrica i vent de llevant, diem que “Probablement plourà”, i decidim agafar l’impermeable i el paraigua Pensem “probablement l’examen de XXX serà només de problemes” i decidim fer tots els exercicis de classe i d’un llibre. En cap cas sabem cert què passarà (tenim incertesa entre possibles alternatives) i de qualque manera la probabilitat mesura quina és la factibilitat de cadascuna d’elles. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals També fem, sovint, afirmacions de caire probabilístic: Els homes són més alts que les dones Els alemanys són més rics que els mallorquins Els nens que beuen molta de llet creixen més que els que en beuen poca Un elefant africà pesa devers 5 Tm quan caracteritzem un col.lectiu, fem comparacions entre col.lectius, cerquem relacions entre variables d’un col.lectiu, etc. I ho usem per a prendre decisions: Com que les Illes Balears tenen el major PIB per càpita, el finançament per càpita és el menor L’estadística és l’eina que usem per a caracteritzar les variacions (incerteses) d’una variable sobre un col.lectiu d’elements nominalment idèntics La probabilitat és una teoria matemàtica (amb diferents interpretacions) per a descriure les variacions (incerteses) d’un resultat Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Hi ha una estreta relació entre elles. L’estadística maneja sempre conjunts finits de dades, i usa la teoria de la probabilitat per a analitzar-les, fer estimacions de paràmetres, etc. La teoria de la probabilitat és una teoria matemàtica, que admet diferents interpretacions sobre el que és la probabilitat en sí mateixa, però cerca explicar les variacions existents en fer un nombre finit de mesures o experiments. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals b) Definicions prèvies i) Anomenarem espai mostral, S, el conjunt de tots els possibles resultats d’un experiment. En llençar una moneda una vegada, S={, X } En llençar-la dues vegades, (o dues un pic) S ={(, ), (, X), (X , ), (X, X) } En llençar una moneda i un dau, S ={(, 1), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (X , 1), (X , 2), (X , 3), (X , 4), (X , 5), (X , 6) } En seleccionar 2 persones a l’atzar d’un conjunt de 3 homes i 2 dones, tenim S ={(H1, H2), (H1, H3), (H1, D1), (H1, D2), (H2, H1), (H2, H3), (H2, D1), (H2, D2), (H3, H1), (H3, H2), (H3, D1), (H3, D2) (D1, H1), (D1, H2), (D1, H3), (D1, D2) (D2, H1), (D2, H2), (D2, H3), (D2, D1) } Els elements de l’espai mostral s’anomenen punts Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

E1 = (2H, 0D), E2 = {(H1, D2), (D2, H1)}, E3 = (D2, D1)... ii) Un event és qualsevol subconjunt de l’espai mostral S. En el quart exemple, podrien ser E1 = (2H, 0D), E2 = {(H1, D2), (D2, H1)}, E3 = (D2, D1)... S ={(H1, H2), (H1, H3), (H1, D1), (H1, D2), (H2, H1), (H2, H3), (H2, D1), (H2, D2), (H3, H1), (H3, H2), (H3, D1), (H3, D2) (D1, H1), (D1, H2), (D1, H3), (D1, D2) (D2, H1), (D2, H2), (D2, H3), (D2, D1) } E2 E1 E3 Recordeu que el conjunt buit, , i el propi conjunt mostral, S, són subconjunts del conjunt mostral, S Direm que un event és simple si només conté un punt de l’espai mostral, i compost si en té més. Els events impossibles s’assignen al conjunt buit, : e. g., treure un “7” al dau L’event cert és E = S, ja que és segur que ocorre. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals Definit un event, E, l’event complementari, Ē, és el que conté tots els punts d’S que no pertanyen a E. La unió de dos events E1 i E2 és l’event que conté tots els punts d’S que pertanyen al menys a E1 o a E2 : E = E1  E2 La intersecció de dos events E1 i E2 és l’event que conté tots els punts d’S que pertanyen tant a E1 com a E2 : E = E1  E2 També s’anomena event conjunt, ja que simultàniament ocorren els dos. Dos events són disjunts (o mútuament exclusius) si no tenen punts en comú, és a dir, si llur intersecció és un event impossible. Un conjunt d’events és col·lectivament exhaustiu si llur unió és tot l’espai mostral S. Una partició d’S és un conjunt col·lectivament exhaustiu d’events disjunts. Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals En llençar una moneda i un dau, S ={(, 1), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (X , 1), (X , 2), (X , 3), (X , 4), (X , 5), (X , 6) } E = (X, 5) és un event simple E1 = (, parell) és un event compost, ja que conté tres events simples: E1 = (, parell) = {(, 2), (, 4), (, 6)} = {(, 2)}{(, 4)} {(, 6)} Ē1 = {(, senar), (X , parell), (X , senar) } E2 = (, senar) és un event disjunt d’E1 E3 = (X , senar) és un event disjunt d’E1 i E2 E4 = (X , senar) és un event disjunt d’E1 i E3 Q = {E1, E2, Ē1 } és col·lectivament exhaustiu sobre S P = {E1, E2, E3 , E4} és una partició d’S Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals c) Axiomes de la probabilitat formal Kolmogorov Des del punt de vista purament matemàtic, donat S i un event qualsevol E  S, la probabilitat de l’event E ha de ser una funció P(E) que mesuri l’ocurrència d’E i verifiqui P(E)  0 P(S) = 1 P(AB) = P(A) + P(B) si A i B són disjunts No ens diu QUÈ representa P(E) No ens diu COM s’assigna la probabilitat a un event Però una vegada donada P(E) per als punts d’S, podem explorar-ne fins al darrer detall les conseqüències Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals d) Tres visions de la probabilitat i) Teoria clàssica: propensió És la primera, basada en l’anàlisi de jocs d’atzar. La interpretació que es fa és que la probabilitat és una propietat intrínseca de cada event: cada cara del dau té la mateixa probabilitat d’aparéixer en llençar-lo, etc. (principi de la raó insuficient) Aleshores, la probabilitat d’un event E és el nombre de punts d’E dividit pel nombre de punts d’S Variables contínues: Dependència de la partició? Canvis de variable Events elementals no equiprobables Dependència d’S Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals ii) Teoria empírica: el límit de freqüències La visió “ortodoxa”, amb la que la majoria dels científics declaren identificar-se, i directament connectada amb l’estadística. Suposem que fem un experiment (e. g. llençar una moneda en unes determinades condicions). En repetir l’experiment N vegades, observem que un event E (e. g. cara) apareix n(E) vegades. Definim la probabilitat de l’event com Cal repetició: Quantes de vegades? Com d’idèntiques han de ser les conds.? Problemes no repetibles Events rars Dependència del col·lectiu Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals iii) Teoria subjectivista o Bayesiana Una visió “heterodoxa”, que permet adreçar els problemes no repetibles o no realitzables. Segons aquesta interpretació, la probabilitat d’un event és una mesura de la confiança personal en l’ocurrència d’aquest event, i va canviant d’acord amb la informació de que disposem. En John F. Kennedy probablement hauria estat reel·legit president si no hagués estat assassinat a Dallas. Si jugant amb un dau veiem sortir el 6 sovint, pensem que el dau no és ideal i que P(6) > 1/6 Anàlisi detallada de problemes no trivials esdevé molt complexa, però proporciona una eina molt poderosa per a la modelització i anàlisi de fenòmens complicats Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals e) Teoremes bàsics de probabilitat 1) 0  P(E)  1 : Qualsevol event E d’un espai mostral té una probabilitat entre 0 i 1. 2) P() = 0 : Els events impossibles no passen S   = S S   =  (disjunts!) 3) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 1 = P(S) = P(S  ) = P(S) + P() = 1 + P() A  B S B A A  B Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals A un lot de 1200 boles de golf, n’hi ha 40 que tenen la coberta danyada i 32 que no boten bé, 12 de les quals tenen els dos defectes. Quina probabilitat hi ha de trobar una bola defectuosa en triar-ne una a l’atzar? A = coberta danyada P(A) = 40/1200 B = no bota bé P(B) = 32/1200 C = A  B = coberta danyada i no bota bé P(C) = 12/1200 A  B = defectuosa P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 60/1200 = 0.05 = 5% 4) P(Ā) = 1 - P(A) : A  Ā =  A  Ā = S 1 = P(S) = P(A  Ā) = P(A) + P(Ā) De 100 peces de roba, n’hi ha 75 sense taques, 15 amb una taca, 6 amb dues i 4 amb tres. Quina probabilitat hi ha de triar a l’atzar una peça tacada? O= cap taca, P(O) = 75/100 A = una taca , P(A) = 15/100 B = dues taques, P(B) = 6/100 disjunts C = tres taques, P(C) = 4/100 P(A  B  C) = 25/100 = 0.25 = 1 - 75/100 = 1 - P(O) Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals f) La probabilitat condicional Sovint, en avaluar la probabilitat d’un event per medi d’un experiment, tenim informació addicional. Essencialment, aquesta informació redueix l’espai mostral original a un dels seus subconjunts, i això afecta a la probabilitat. S A B B = S’ A  B Quina és la probabilitat de treure l’as de copes en triar una carta a l’atzar? P(As copes) = 1/48 I si ens diuen que la carta que ha sortit és una copa, quina és la probabilitat de que sigui l’as? P(As copes | copa) = 1/12 = (1/48)/(1/4) Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals g) La probabilitat marginal i el teorema d’el·liminació Sia H={H1, H2, ..., HN} una partició d’S, i E un event qualsevol. E = E S = E  Hk = E  Hk . Aleshores,  k = 1 N Probabilitats marginals S E H1 H2 H3 H4 H5 Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals P(A) = 70/500 = 0.14 P(Ā) = 430/500 = 0.86 P(G) = 200/500 = 0.4 P(Ğ) = 300/500 = 0.6 La probabilitat d’un directiu que també sigui licenciat és P(A G) = 50/500=0.1 La probabilitat d’un no directiu que sigui no licenciat és P(Ā Ğ) = 280/500=0.56 Triem a l’atzar una persona de la mostra donada. Quina és la probabilitat de que sigui directiu si sabem que és licenciat? P( A | G ) = 50/200 = 0.25 P( A | G ) = P(A G)/P(G) = 0.1/0.4 = 0.25 Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

P(A | B) = P(A)  P(A  B) = P(A) P(B) Direm que dos events A i B són estadísticament independents si es verifica que P(A | B) = P(A)  P(A  B) = P(A) P(B) En altres paraules, A és estadísticament independent de B si sa probabilitat, P(A), no és condicionada per l’ocurrència de B. a) A l’exemple anterior, és clar que ser directiu no és independent de ser licenciat P(A) = 0.14 P(A | G) = 0.25  P(A) b) Llencem una moneda de 100 pts i una de 50 pts. Quina probabilitat tenim de que la de 100 hagi tret cara si la de 50 ha tret creu? Són events independents? S = {(,  ), (, X ), (X,  ), (X , X )} P(A B) = P (, X ) = 1/4 P(B) = P((, X )  (X , X )) = 1/2 P( A | B) = 0.25/0.5 = 0.5 P(A) = P((,  )  (, X )) = 1/2 = P(A | B) Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals

Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals c) Dins una bossa hi ha quatre boles, dues de blanques i dues de negres. En treiem una, i desprès una altra sense tornar la primera a la bossa. Si la primera bola és blanca, quina és la probabilitat de que la segona també ho sigui? P(B2 | B1) = 1/3 I si la primera és negra? P(B2 | N1) = 2/3 Quina és la probabilitat de que la segona bola sigui blanca? P(B2) = P(B2 | B1) P(B1) + P(B2 | N1) P(N1) = = (1/3) (1/2) + (2/3) (1/2) = 1/6 + (2/6) = 1/2 Quina probabilitat hi ha de treure una bola blanca i una negra? P = P(B2 | N1) P(N1) + P(N2 | B1) P(B1) = = (2/3) (1/2) + (2/3) (1/2) = 2/3 Fonaments Matemàtics de les Tècniques Experimentals