Distribucions importants en Inferència estadística

Presentación del tema: "Distribucions importants en Inferència estadística"— Transcripción de la presentación:

1 Distribucions importants en Inferència estadística
Diplomatura d’Estadística Estadística Matemàtica I Jordi Ocaña Rebull Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

2 Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Punts que tractarem: Distribució khi-quadrat Definició, principals propietats, gènesi, taules Distribució t de Student Distribució F de Fisher-Snedecor Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

3 Distribució khi-quadrat. Definició
Direm que la v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “khi-quadrat” amb n graus de llibertat, Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

4 Distribució khi-quadrat. Densitat per diversos g.d.ll.
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

5 Distribució khi-quadrat. Propietats
Cas particular de la gamma, amb l = 1/2 i p = n/2: Tots els moments finits, amb valor: En particular Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

6 Distribució khi-quadrat. Propietats
Reproductibilitat: si Y1 i Y2 són estocàsticament independents, Funció característica: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

7 Distribució khi-quadrat. Per què és important?
Distribució “artificial”, normalment no trobarem al “món real” cap variable aleatòria que “sigui” c2 !. Però ... en Inferència estadística, sovint hi ha la necessitat de determinar la distribució de sumes de quadrats de v.a. normals independents: aquestes distribucions estan molt relacionades amb la c2. En concret: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

8 Distribució khi-quadrat. Sumes de quadrats de N(0,1)
Si És conseqüència (casi) immediata de les propietats de la funció característica: f. característica de y la de la suma és Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

9 Distribució khi-quadrat. Taules de la khi-quadrat
Per uns graus de llibertat n i un valor de probabilitat a, donen el valor tal que Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

10 Distribució khi-quadrat. Fórmules aproximades
Si n és gran (n  100), no serà a les taules. Podem utilitzar l’aproximació Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

11 Distribució khi-quadrat. Fórmules aproximades
Aproximació més precisa al valor crític: Càlcul de la funció de distribució: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

12 Distribució t de Student. Definició
Direm que la v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “t de Student” amb n graus de llibertat, amb n  +, Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

13 Distribució t de Student. Gràfic de la funció de densitat
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

14 Distribució t de Student. Propietats
Si n=1 tenim la distribució de Cauchy Unimodal i simètrica respecte de 0 Tot moment d’ordre inferior a n és finit Si n>1 existeix E(Y) (i és 0) Si n>2 existeix var(Y) = E(Y2) = n/(n-2) En general, per 1 < 2n < n: E(Y 2n-1) = 0 i Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

15 Distribució t de Student. Propietats
Funció característica: Aproximació a la normal: Propietat fonamental: donades dues v.a. independents Z ~ N(0,1) i X ~ c2(n), la v.a. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

16 Distribució t de Student. Taula per “dues cues”
La taula més habitualment utilitzada, per un determinat nombre de g.d.ll. n i per una probabilitat a, indica el valor ta(n) tal que, si Y ~ t(n), Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

17 Distribució F de Fisher-Snedecor. Definició
Una v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “F de Fisher-Snedecor” amb m g.d.ll al numerador i n g.d.ll. al denominador, Y ~ F(m,n), si la seva funció de densitat és Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

18 Distribució F de Fisher-Snedecor. Algunes densitats
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

19 Distribució F de Fisher-Snedecor. Propietats
Esperança finita si n > 2: Variància finita si n > 4: Unimodal si m > 2, amb moda: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

20 Distribució F de Fisher-Snedecor. Propietat fonamental
Raó per la qual la distribució F és fonamental en Anàlisi de la variància i altres parts de la Inferència estadística: Per tant, si Y ~F(m,n), 1/Y~F(n,m) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

21 Distribució F de Fisher-Snedecor. Taules
Per una probabilitat a, i graus de llibertat m i n, si Y~F(m,n), donen Fa(m,n) t.q. Pr{Y > Fa(m,n)}=a El “valor crític” per la cua esquerra es pot trobar a partir de: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques