Problemas Resueltos de la Regla del Sandwich Usando la Regla del Sandwich Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

La Regla del Sandwich en Sucesiones Teorema Si, para todo n, xn ≤ yn ≤ zn y las sucesiones xn y zn tienen el mismo límite L, entonces la sucesión yn converge y tiene el límite L. Demostración Gráfica Si (xn) y (zn) tienen el mismo límite L, entonces observando la figura podemos ver que también (yn) debe tener el límite L. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich En cada uno de los ejemplos siguientes, n es siempre un número entero. Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Aquí la notación x significa el mayor número entero que es ≤ x. Por ejemplo: 5 = 5, 2.9 = 2, 3.1 = 3. Para cualquier número x, x – 1 < x ≤ x. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Observamos que, por la definición de x, n2/3 – 1 < n2/3 ≤ n2/3 y n3/6 – 1 < n3/6 ≤ n3/6. Esta estimación es válida para n > 1. Por lo tanto: Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Observación Si n > 1, ambas cotas son positivas en la estimación La cota superior para la obtuvimos sustituyendo el numerador por su cota más alta y el denominador por su cota más baja. Esto hace que el cociente sea mayor. La cota inferior se obtuvo de la misma forma. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Solución (cont.) Para n > 1: Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 1 ¿La sucesión converge? Solución (cont.) Para n > 1: Como lim 2 – 6/n2 = 2 y lim 2/(1-6/n3) = 2, concluimos, por la Regla del Sandwich, que la sucesión converge y que su límite es 2. Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 2 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Se tiene que, por la definición de x Esto, sin embargo, no da ninguna información acerca de la existencia del límite en cuestión, ya que y Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 2 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución (cont.) Observamos que, para n > 0, Por tanto, para todo n > 0, Esto implica que Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Observación Para n > 0, Demostración Claramente para n > 0. Si no se verifica para algún n > 0, entonces Esto no se cumple para ningún n > 0. Por lo tanto, para n > 0, Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Ejemplo 3 ¿La sucesión converge? Si lo hace, hallar su límite. Solución Se observa que, para todo n, –1 ≤ sin n ≤ 1 y –1 ≤ cos n ≤ 1. Por tanto, n2 – 1 ≤ n2 + cos n ≤ n2 + 1, y n2 – n ≤ n2 + n sin n ≤ n2 + n. Lo que lleva a que para n >1, Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Usando la Regla del Sandwich Solución (cont.) Tenemos, para n > 1, Como y concluimos, por la Regla del Sandwich, que Sucesiones. La regla del sandwich. Problemas resueltos.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä