Extremos Absolutos y Relativos Ejemplos Extremos de Funciones Extremos Absolutos y Relativos Ejemplos Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Etremos Relativos de Funciones Hemos visto anteriormente que si el punto xk es un extremo relativo de una función derivable f, entonces f’(xk)=0. x1 x2 En un máximo relativo, la derivada de la función f debe ser positiva para x < x1 (cerca del punto x1). Asimismo, la derivada de f es negativa para x > x1. Por lo tanto, en un máximo relativo, la derivada de una función f, si es derivable, cambia de signo (de positiva a negativa). Esto también implica que la segunda derivada de la función f es negativa en un máximo relativo. Esto proporciona un criterio para encontrar máximos relativos. Son puntos donde la primera derivada es nula y la segunda derivada es negativa. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Criterio para Extremos relativos Máximos relativos Un punto x1 es un máximo relativo de una función derivable f si f’(x1)=0 y si f’ cambia de signo de positivo a negativo en x1. Si f’’ existe, entonces f’’(x1) < 0. x1 x2 Mínimos relativos Un punto x2 es un mínimo relativo de una función derivable f si f’(x2)=0 y si f’ cambia de signo, de negativa a positiva en un entorno de x2.. Si f’’ existe, entonces f’’(x2) > 0. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones Ejemplo Ejercicio Hallar los extremos relativos de la función f(x) = 3x5 - 5x3. Solución Derivando, f’(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2-1) = 15x2(x – 1)(x + 1). La derivada f’ se anula en x = -1, 0 y 1. x2 x-1 x+1 f’(x)=15 x2(x-1)(x+1) f’(x) -1 1 ++ - - Para entender el comportamiento de f’ es muy útil factorizar f’ y hacer un diagrama de signos, para ver donde f’ cambia de signo y además de cuál a cuál a cambiado. Del diagrama de arriba se obtiene que el punto -1 es una máximo relativo, y que el punto 1 es un mínimo relativo. La derivada se anula también en 0, pero éste no es un extremo relativo. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones Ejemplo Problema Hallar los extremos relativos de la función f(x) = 3x5 - 5x3. Solución Derivando, f’(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2-1) = 15x2(x – 1)(x + 1). La derivada f’ se anula en x = -1, 0 y 1. Derivando otra vez tenemos, f’’(x) = 60x3-30x. Max relativo f’’(-1) = -30 < 0, por lo tanto x = -1 es un máximo relativo. f’’(1) = 30>0, por lo tanto x = es un mínimo relativo. Mínimo relativo En el punto x = 0, tanto f’ como f’’ se anulan. Este punto no es ni máximo ni mínimo. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Pasos para hallar Extremos Absolutos de Funciones Dada f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], seguimos los siguientes pasos: Hallamos la derivada de f. Hallamos los valores que anulan a la derivada en (a,b). Comparamos signos de la derivada f’ a ambos lados de dichos valores, asi como en a y b. Teniendo en cuenta estos valores, cogemos el mayor y el menor. Estos son los extremos absolutos de f. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones Extremos Absolutos Ejemplo Hallar los extremos absolutos de f(x) = x3 – 2x + 2 en el intervalo [0,2]. Solución La función es derivable para todo x. Por lo tanto la función tomará un valor máximo y mínimo en [0,2] ya sea en los puntos que anulan la derivada o en los límites del intervalo. Diferenciación/Applicaciones de la derivada /Extremos de funciones

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä