Límites de Funciones Definición de Límites Propiedades de Límites Prueba de las Principales Propiedades La Regla del Sandwich Límites Laterales Límite de funciones.

Límites de Funciones Observar que el valor de f en x0 no afecta al valor del límite (si existe). El límite puede existir incluso si la función no está definida en x = x0. Definición Una función f tiene límite L en un punto x0 si los valores f(x) se aproximan a L cuando x tiende a x0 sin llegar a serlo. Notación Ejemplo La función tiene límite 0 cuando x  0 a pesar de que f(0) = 1. Límite de funciones.

Definición de Límites Una función f tiene límite L en el punto x0 si Ejemplo Afirmación Prueba Sea ε > 0. si Así se acaba la demostración ya que para todo número positivo ε podemos encontrar un número positivo δ que satisfaga la condición de la definición. Límite de funciones.

Límites Positivos Teorema Suponer que Entonces existe un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ  f(x) > 0. Prueba En la definición de límite, hagamos ε = a > 0. Entonces, como hay un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ  |f(x) – a| < a = ε. a=ε δ x0 Esto implica que: f(x) > 0 si 0 < |x – x0|< δ. La figura ilustra este teorema. Observar que f(x0) puede ser negativo incluso si el límite de f en x0 es positivo. Límite de funciones.

Propiedades de Límites 1 2 3 4 5 La Regla del Sandwich Si , entonces existe y Supongamos que cerca de x0, pero no necesariamente en x0, se verifica f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites 1 Prueba Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que Como , hay un número positivo δ2 tal que Por la Desigualdad Triangular Sea δ = min(δ1, δ2). Por tanto si |x – x0| < δ. Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites 3 Prueba Lo haremos para el caso ab ≠ 0. La prueba en otros casos es más fácil y puede hacerse modificando ligeramente el razonamiento. Sea ε > 0. Como , y como , Existen los números positivos δ1 y δ2 tal que Podemos encontrar los números δ1 y δ2 por la definición del límite ya que lo que está a la derecha es positivo. Sea δ = min(δ1, δ2). En la próxima diapositiva demostraremos que el número positivo δ tiene la propiedad deseada. Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites 3 Observar que esto implica |f(x)|<2|a|. Usamos esto más abajo. Prueba (cont.) Supongamos |x – x0| < δ. Por las consideraciones anteriores, Usamos la Desigualdad Triangular Aquí simplemente sumamos y restamos f(x)b. La expresión no cambia. Obtenemos: Por tanto si |x – x0| < δ. Límite de funciones.

Prueba de la Regla del Sandwich 5 La Regla del Sandwich Supongamos que cerca del número x0, pero no necesariamente en el punto x0, se tiene que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Si , entonces existe y Prueba La suposición sobre las funcionesf, g, y h significa que hay un número c > 0 tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para 0 < |x0 – x| < c. Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que a f(x) ε g(x) Como , hay un número positivo δ2 tal que h(x) Sea δ = min(c, δ1, δ2). Lo de arriba implica: Límite de funciones.

La Regla del Sandwich Gráficamente Supongamos que cerca del puntox0 (pero no necesariamente en x0) las funciones f, g, y h satisfacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Si ,entonces existe y . h f g En la Regla del Sandwich, los valores de la función h cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y g. Si estas funciones tienen el mismo límite en x0, entonces la función h debe tener ese límite también. Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (1) Métodos para calcular límites: Si la función f está definida por una expresión que tiene un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite. Si la función f está definida por expresión cuyo valor es indeterminado en el límite, entonces se debe reescribir la expresión de una manera más sencilla o emplear la Regla de Sandwich. Ejemplos 1 2 Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (2) Ejemplo en que reescribimos la expresión 1 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces del denominador. Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (3) Aplicación de la Regla de Sandwich 1 Recordar que, para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1. Por tanto para todo x ≠ 0. Como , podemos usar la Regla del Sandwich y concluir que: Observar que los valores de la expresión x sen(1/x) son indeterminados para x = 0. El límite existe, sin embargo, y es 0. Límite de funciones.

Sin Límite Ejemplo Sea La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función toma valores entre -1 y 1. Límite de funciones.

Límites Laterales (1) Definición Una función f tiene el límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x > x0. Notación Definición Una función f tiene el límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x < x0. Notación Límite de funciones.

Límites Laterales (2) Ejemplo Sea Por las propiedades del valor absoluto, se puede reecribir la función f como: Por tanto, la definición de la función f implica que y . La función f tiene límites laterales en x=0 pero no tiene límite en x=0. Límite de funciones.

Definición Formal de Límites Laterales Una función f tiene límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x0 – x < δ  |f(x) – L| < ε. Notación Definición Una función f tiene límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que 0 < x- x0 < δ  |f(x) – L| < ε. Notación Conclusión El resultado es consecuencia inmediata de las definiciones. Límite de funciones.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä