Problemas Resueltos sobre la Definición de Funciones Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Dominios de Funciones 1 Determinar el dominio de la función: Solución Nota: Cuando la función viene definida por una expresión dada y no se especifica el dominio, este es el conjunto de puntos para los que la expresión tiene un valor finito. La expresión toma un valor finito si y sólo si x2 – 1 ≠ 0, es decir si x ≠ 1. Respuesta El dominio de la función f es: Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Dominios de Funciones 2 Determinar el dominio de la siguiente función: Solución La función toma el valor 0/0 para x = 1. Por lo tanto, la función no está definida para x = 1. Tampoco lo está para x = -1 . La respuesta es la misma que para el problema 1: El dominio de la función f es: Comentario Reescribir la función como permite extender el dominio de la función f hasta el punto x = 1. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Operaciones con Funciones Dado el conjunto A y las funciones f,g: A  R ,y sabiendo que k es una constante, resolver: Suma de Funciones La función f + g está definida en el conjunto A como (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x  A. Multiplicación de Funciones La función f  g está definida en el conjunto A como (f  g)(x) = f(x)  g(x) para todo x  A. Multiplicación de una Función por un Número La función k  g está definida en el conjunto A como (k  g)(x) = k  f(x) para todo x  A. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Funciones Monótonas 3 Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada? a f + g b f – g Solución a Siendo a > b. Si f es decreciente, f(a) > f(b). Si g es creciente, g(a) > g(b). Sumando estas dos desigualdades, obtenemos que: f(a)+g(a) > f(b)+g(b). Por lo tanto f + g también es creciente. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Funciones Monótonas 3 Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada? a f + g b f – g b La función f – g puede ser creciente, decreciente o nada. Solución Las funciones f(x) = 2x, g(x) = x y f(x) – g(x) = 2x – x = x son todas crecientes. Por lo tanto f – g será creciente. Las funciones f(x) = x, g(x) = 2x son crecientes, pero la función f(x) – g(x) = x – 2x = -x es decreciente. Por lo tanto f – g será decreciente. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Funciones Monótonas 3 Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada? a f + g b f – g b La función f – g puede ser creciente, decreciente o nada. Solución Las funciones f(x) = x3, g(x) = 3x son crecientes, pero la función f(x) – g(x) = x3 – 3x No es creciente ni decreciente. De hecho, f – g es decreciente en el intervalo (-1,1) y creciente en el resto del dominio. f(x) – g(x) = x3 – 3x Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Ejemplo 4 Un globo esférico se infla de modo que el radio aumenta de centímetro en centímetro. Expresa el volumen de gas necesario como una función del radio r. Solución El volumen de una esfera de radio r es . Por lo tanto, para aumentar el radio del globo de r a r+1 cm, se necesitan Centímetros cúbicos de gas. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos. Ejemplo 5 Expresar el área de un rectángulo de perímetro 4 como función de la longitud de uno de sus lados. x y Solución Si las longitudes de los lados adyacentes del rectángulo son x e y, entonces el perímetro es 2x + 2y. Por lo tanto 2x + 2y = 4  2y = 4 – 2x  y = 2 – x. El área del rectángulo es A = xy = x(2 – x) = 2x – x2. Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä