Aplicaciones de la Derivada Desigualdades entre funciones Estimación de funciones/

Estimación de Funciones El Teorema del Valor medio implica que: Si f es derivable en un intervalo abierto y f’(x) > 0 para todo x salvo para un numero finito de puntos, f es estrictamente creciente. Teorema Nos centraremos en el uso de este resultado para el estudio de funciones. Evidentemente sólo podemos aplicar este teorema a funciones definidas en un intervalo. Por ejemplo la función: f( x ) = tg x está definida para todo x ≠ nπ + π/2, y f’( x ) = 1/cos2(x) > 0, para todo x perteneciente al dominio de la función f. Sin embargo la función no es creciente en todo su dominio. (M) The Mean Value Theorem has two important consequences. One is the fact that, if the derivative of a function vanishes, then the function is a constant function. The other is that if the derivative of a function is positive, then the function is increasing. (++) (F) One point has to be observed. What you just said is true only if the function is defined on an interval. For example, the derivative of the function f(x) = absolute value of x divided by x is everywhere 0, but the function is not a constant function. Clearly f(x)=1 if x is positive, and f(x) = -1 if x is negative. The point here is that the function f is not defined for x=0, that is, the domain of definition of the function is the union of two intervals, not a single interval. This point has always to be taken into account when using the Mean Value Theorem. F(x)=tgx. Estimación de funciones/

Estimación de Funciones(1) La siguiente desigualdad es consecuencia directa de la definición de la función seno. Lo probaremos mediante el teorema fundamental del cálculo y = x y = sin x 1 Prueba Sea f la función f( x ) = x – sen( x ). La derivada de la función, f’( x ) = 1 – cos( x ), es positiva excepto para x = n2π, donde la derivada vale 0. Por tanto la función es estrictamente creciente Por tanto f( x ) ≥ f(0) = 0 para x ≥ 0, quedando demostrado el resultado Estimación de funciones/

Estimación de Funciones(2) Prueba Estimación de funciones/

Estimación de Funciones (3) Demostrar que para x ≥ 0. 3 Prueba Se considera la función Primero demostraremos que la función es creciente Derivando se tiene: Para x > 0, f’( x ) > 0. Por tanto concluimos que f es estrictamente creciente para x ≥ 0. Por último f( x ) ≥ f(0) = 0 para x ≥ 0. Esto prueba el enunciado. Estimación de funciones/

Estimación de funciones (4) Demostrar que para x ≥ 0. 4 La gráfica ilustra esta doble desigualdad. Una representación gráfica normalmente ayuda a obtener estimaciones de la función. cos( x ) Sin embargo no podemos basarnos únicamente en la grafica de la función para hacer estimaciones. Estimación de funciones/

Estimación de funciones(5) Demostrar que para x ≥ 0. 5 Probaremos que para x ≥ 0. Análogamente, la otra desigualdad se prueba del mismo modo. Prueba Consideramos la función Derivando se obtiene: Como sen(x) ≤ x, f’’’( x ) > 0 para x > 0. Por tanto f’’( x ) es creciente. Así, para x > 0, f’’( x ) > f’’(0) = 0. Esto significa que f’ es creciente . Como f’ es creciente, f’( x ) > f’(0) = 0 para x > 0. Así, f es creciente para x ≥ 0. Por tanto f( x ) > f(0)=0 para x > 0. Esto prueba el enunciado. Estimación de funciones/

Evaluando Indeterminaciones Determinar Ejemplo Solución Usamos que , que es válido para cualquier x. Por tanto, Conclusión Estimación de funciones/

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä