Problemas Teóricos Resueltos Sobre Límites de Funciones Problemas teóricos de límites resueltos.

Problemas teóricos de límites resueltos. Funciones Positivas 1 La función f satisface f(x) ≥ 0 para x tal que 0 < |x – x0| < c para un número positivo c. Suponer que existe. Demostrar que a ≥ 0. Prueba Suponer lo contrario es decir que Por la definición del límite existe δ > 0 tal que 0 < |x-x0| < δ  |f(x) – a| < |a| = ε. Pero esto es imposible, ya que implicaría que: 0 < |x-x0| < δ  f(x) < 0, que es contrario a la hipótesis del enunciado. Problemas teóricos de límites resueltos.

Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Se define la función f como Suponemos que p y q son primos entre sí, es decir no tienen más factores comunes que el 1. Afirmación Para todo x0: Esta es una función interesante que emplearemos más adelante en ejemplos. La afirmación sale de que cuando un número racional que se aproxima a otro, el denominador crece indefinidamente. Ésta es la base de la prueba. Problemas teóricos de límites resueltos.

Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Afirmación Para todo x0: Tenemos que demostrar que cerca del punto dado x0, los valores de la función f están próximos a 0. Prueba Sea ε > 0 arbitrario. Sea m un entero positivo tal que . Consideramos el conjunto Es un conjunto finito de puntos. Como, por definición, x0  L, δ = min{|x0 − x|| x L } = distancia de x0 a L es > 0. Para este número δ : 0 < |x – x0| <δ  |f(x) – 0| < 1/m < ε. Más detalles de por qué esto es cierto a continuación. Por tanto Problemas teóricos de límites resueltos.

Problemas teóricos de límites resueltos. Una Función Especial 2 Comentario Sea m un entero positivo tal que . De la definición del conjunto L Se obtiene que el conjunto L tiene menos de 4m2 elementos. Como x0  L, δ = min{|x0 − x|| x L } > 0. Si un número racional x = p/q satisface 0 < |x – x0| <δ, entonces p/q  L. Esto significa que q > m. Por tanto |f(p/q)| = 1/q < 1/m < ε. Si x es irracional, entonces f(x) = 0, y por tanto también |f(x)| = 0 < ε. Estos comentarios justifican la implicación de lo de la página anterior probando que para cualquier número x0, Problemas teóricos de límites resueltos.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä