La diferencial
Definición: diferencial Si la función 𝒇 está definida por 𝒚=𝒇 𝒙 , entonces la diferencial de 𝒚, denotada por 𝒅𝒚, está dado por 𝒅𝒚=𝒇´ 𝒙 ∆𝒙 (Diferencial de la variable dependiente) ∆𝒚=𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙 Donde 𝒙 está en el dominio de 𝒇´ y ∆𝒙 es un incremento arbitrario de 𝒙.
Definición: diferencial Si la función 𝒇 está definida por 𝒚=𝒇 𝒙 , entonces la diferencial de 𝒙, denotada por 𝒅𝒙, está dado por 𝒅𝒙=∆𝒙 (Diferencial de la variable independiente) Donde ∆𝒙 es un incremento arbitrario de 𝒙, y 𝒙 es cualquier número en el dominio de 𝒇´.
La diferencial 𝒅𝒚=𝒇´ 𝒙 𝒅𝒙 De las ecuaciones anteriores obtenemos: 𝒅𝒚=𝒇´ 𝒙 𝒅𝒙 Al despejar 𝒇´ 𝒙 , tenemos que: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =𝒇´ 𝒙 ; si 𝒅≠𝟎. La ecuación anterior expresa la derivada como el cociente de dos diferenciales. Recuerde que cuando se presentó la notación 𝒅𝒚 𝒅𝒙 para la derivada en la sección 2.4, a 𝒅𝒚 y a 𝒅𝒙 no se les había dado aún un significado particular.
Utilidad de los diferenciales Para un valor fijo de 𝒙, digamos 𝒙 𝟎 , tenemos que 𝒅𝒚=𝒇´ 𝒙 𝟎 𝒅𝒙; es decir 𝒅𝒚 representa una función lineal de 𝒅𝒙. Como 𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 −𝒇 𝒙 𝟎 =∆𝒚, entonces: 𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 =𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒚 De manera que: 𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 ≈𝒇 𝒙 𝟎 +𝒅𝒚
Utilidad de los diferenciales Utilizar diferenciales para obtener un valor aproximado de 𝟑 𝟐𝟖 . Procedimiento: Considere la función definida 𝐲= 𝟑 𝒙 , y que 𝒅𝒚=𝒇´ 𝒙 𝒅𝒙. Identifique el cubo perfecto más próximo, y comprender que el resto es ∆𝒙. Encontrar 𝒅𝒚. Aplicar la fórmula 𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 =𝒇 𝒙 𝟎 +𝒅𝒚