Función Exponencial y Logarítmica

Presentación del tema: "Función Exponencial y Logarítmica"— Transcripción de la presentación:

1 Función Exponencial y Logarítmica
Prof. M. Alonso pH Crecimiento poblacional Interés Compuesto Radioactividad

2 OBJETIVOS Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas.
Trazar la gráfica de una función exponencial y de una función logarítmica. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplicar las propiedades de los logaritmos Aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas en diversas situaciones. Modelar un fenómeno natural mediante una función exponencial o logarítmica.

3 ¿Qué es una función exponencial?
Definición Una función exponencial es de la forma:  f(x) = bx  donde b es un número tal que b > 0 y además b  1. El dominio de la función son los números reales o sea que la variable x puede asumir cualquier valor real. La letra b se conoce como la base. Observe que la variable está en el exponente

4 EJEMPLOS Todas las siguientes son funciones exponenciales: F(x) = 2x
H(x) = 102x+3 G(x) = (¼)x-1 Q(x) = (½)2x P(x) = (3) –x M(x) = (¾)4x

5 Esta base se utiliza mucho en fenómenos naturales
BASE NATURAL e Una base que se usa en las ciencias es la base e; e es un símbolo como  que representa el número …, es decir, e = Así podemos considerar la función exponencial cuya base es e: Esta base se utiliza mucho en fenómenos naturales

6 Gráfica de f(x) = 2x Lo primero es hacer una tabla de valores. Como
el dominio son los reales podemos seleccionar cualquier número para sustituir en la x. Se recomienda usar una calculadora  X Y Recuerde! f(-3)= 2-3=.125

7 Propiedades de la gráfica anterior
Buscaremos los interceptos con el eje de x y con el eje de y.  Intercepto en y: f(0) = 20 = 1 Intercepto en x: 2x = Esta ecuación no tiene solución por consiguiente, no hay intercepto en x. Observaciones: Gráfica creciente Asíntota horizontal en y = 0 Intercepto en y: (0,1) No hay intercepto en x

8 Gráfica de f(x)= x y -3 8 -2 4 -1 2 1 .5 .25 3 .125 ¿Qué propiedades observa en la gráfica?

9 Observaciones Vimos que las gráficas pueden ser crecientes o decrecientes. De mirar la función en su forma algebraica se puede determinar si la gráfica es creciente o decreciente. Si la base b es mayor de 1, es decir, b > 1 entonces la gráfica de f(x) = bx es creciente. Si 0 < b < 1, entonces f(x) = bx es decreciente Puede ocurrir que la función aparezca en la forma f(x) = 4-x, pero esta función es equivalente a f(x) = (¼)x y por lo tanto, es decreciente.

10 Ecuaciones Exponenciales
Una ecuación exponencial es una ecuación donde la variable está en el exponente. Por ejemplo:  3x = 9 52x+1 = 125x 6x = 7 42x-2 = 8 5 = 25x-2

11 Método para resolver ecuaciones exponenciales
Para resolver una ecuación exponencial necesitamos el siguiente teorema  Teorema: Si bx = by entonces x = y. El teorema dice que si tenemos 2 potencias con bases iguales entonces sus respectivos exponentes son iguales. Este teorema nos da la clave para resolver ecuaciones exponenciales. Una analogía puede ser que si dos libros son iguales la tercera página de cada uno son también iguales.

12 Recuerde. Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
Ejemplo: Resuelva 3x = 9 Solución: Nuestro objetivo es hallar el valor de la variable x. El procedimiento a seguir es utilizando el teorema. O sea, tratamos de poner bases iguales 3x = 9 3x = 32 Por lo tanto, x = 2 Recuerde. Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.

13 Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación
52x+ 1 = 125x 52x+1 = (53)x Por lo tanto, 2x+1 = 3x 1 = 3x -2x 1 = x Escribimos 125 con la base 5.

14 Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación
42x-2 = 8 (22)2x-2 = 23 24x-4 = 23 Por lo tanto: 4x -4 = 3 4x = 7 x = 7/4

15 Ejemplo:resuelva la siguiente ecuación
Se usa la ley distributiva en los exponentes Note que las bases son iguales 51/2 = (52) x-2 51/2 = 5 2x-4  Por lo tanto: ½ = 2x - 4 ½ + 4 = 2x 9/2 = 2x 9/4 = x

16 Ejemplo: Resuelva 6x = 7 Con el procedimiento utilizado en los anteriores casos no se puede resolver esta ecuación ya que no hay forma de poner las bases iguales. Más adelante usaremos otra técnica para resolver esta ecuación.

17 Aplicaciones Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, tanto en las Ciencias Naturales como en Administración de Empresas. Veremos algunas aplicaciones interesantes.

18 Interés Compuesto Si uno invierte cierta cantidad de dinero P en una cuenta de ahorro que paga una tasa de interés r y se calculan los intereses en ciertos períodos entonces al cabo de t años la persona obtiene la siguiente cantidad A de dinero : A = P( 1 + r/n)nt  

19 Interés Compuesto Las letras en la fórmula A = P( 1 +r/n)nt significan: P es el principal, el dinero que uno invierte r es la tasa porcentual n los periodos por año; si el cálculo es mensual ,entonces n = 12; si el cálculo es trimestral entonces n = 4, etc. t el tiempo ,en años, que el dinero estará en la cuenta A la cantidad de dinero al cabo de t años

20 Observaciones A = P( 1 +r/n)nt
La fórmula es una función exponencial porque la variable t está en el exponente. Es decir, la cantidad de dinero A que uno tendrá en el futuro depende del tiempo que tuvo el principal en la cuenta.

21 Use la calculadora para realizar loa cálculos
Ejemplo Si se invierten $2000 en una cuenta IRA al 6.5% calculado mensualmente, ¿al cabo de 5 años cuánto dinero tiene la persona = 2000 ( )60  = 2000 (1.0054) = 2000 (1.38)   = Use la calculadora para realizar loa cálculos

22 Función logarítmica Definición: Una función logarítmica tiene la forma: f(x) = logbx donde b > 0, b  1. El dominio de las funciones logarítmicas es el intervalo (0,  ), o sea los números reales positivos.

23 Ejemplos Las siguientes son funciones logarítmicas.
f(x) = log3 (x + 1) g(x) = log x2 h(x) = log2( x -3 ) p(x) = log½ (3x3 + 2x - 4)

24 Observaciones Hay dos bases que se utilizan mucho al trabajar con logaritmos: la base 10 y la base e. Cuando nos referimos a la base 10 sólo escribimos log x, es decir, no indicamos la base pues se sobreentiende que la base es 10. Cuando nos referimos a la base e, llamada base natural, escribimos ln x; es decir, ln x significa logex. Tanto log x como ln x son teclas que aparecen en las calculadoras científicas.

25 Observaciones . Si queremos hallar log 100 sólo tenemos que marcar la tecla log y después 100 o primero entrar el número 100 y después la tecla log, esto depende de la calculadora que esté usando. La respuesta es 2. Asimismo, si se desea hallar ln 3, debe marcar la tecla ln y después el número 3 o el 3 y después la tecla de ln. Debe verificar como funciona su calculadora. La respuesta que obtiene es ln 3 =

26 Logaritmos Calcule estos logaritmos en la calculadora Log1000 Log 100

27 Solución Logaritmo base 10 valor observación Log 1000 3 103=1000
2 102=100 Log 10 1 101=10 Log 1 100=1 Log .01 -2 10-2=.01 Log .001 -3 10-3=.001

28 Observación De lo anterior se desprende que un logaritmo es un exponente. O sea, un logaritmo es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Por consiguiente, la forma equivalente es

29 Resumiendo y = log2 x 2y = x Escribir y = log2 x es equivalente a
escribir 2y = x . EXPONENTE y = log2 x y = x BASE NúMERO

30 Gráfica de g(x) = log2x Solución: Construir una tabla de valores. Como sabemos que el dominio son los reales positivos, podemos elegir cualquier valor positivo. Como la base es dos debemos seleccionar potencias de dos para sustituir.

31 Gráfica de g(x) = log2x x y ¼ Log2(¼)=-2 ½ Log2 (½)=-1 1 Log21 = 0 2
4 Log24= 2 8 Log28 = Recuerde que la respuesta es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener el número que me dan.

32 Los valores de y se encontraron resolviendo las siguientes ecuaciones:
Gráfica de g(x) = log2x Escribimos 2y = x y construimos una tabla de valores Los valores de y se encontraron resolviendo las siguientes ecuaciones: x y -1 1 2 4 8 3 2y = ½ 2y = 1 Recuerde que son ecuaciones exponenciales. Use el método que se explicó al principio. 2y = 2 2y = 4 2y = 8

33 Gráfica de g(x) = log2x Note que el dominio es el intervalo
( 0,  ) y que es una gráfica creciente

34 Comparación Compare estas dos gráficas y sus tablas de valores ¿ qué observa? g(x) = log2x F(x) = 2x

35 Cálculo de logaritmos Halle log2 (1/64)
Recuerde que como la base es 2 , no se puede usar la calculadora. Pero si podemos pasar esa expresión a su forma equivalente exponencial. Sabemos que ese logaritmo nos da un número N . Escriba log2 (1/64) = N y cambie a su forma equivalente: 2N = 1/64

36 Cálculo de logaritmos 2N = 1/64
Observe que tenemos una ecuación exponencial ¿Cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales? Poniendo las bases iguales ! Por lo tanto, N = -6. Esto implica que

37 Cálculo de logaritmos Halle log381 Por lo tanto, N = 4 lo cual implica
que log381 = 4

38 Propiedades de los logaritmos
Sean A y C números reales positivos y N cualquier número real 1. logb 1 = 0 2. logbb = 1 3. logb (AC) = logb A + logb C 4. logb (A/C) = logb A - logb C 5. log b AN = N logb A

39 Propiedades de los logaritmos
Las propiedades nos ayudarán a simplificar logaritmos así como también, resolver ecuaciones logarítmicas.

40 Ejemplo: Simplifique log3 x + log3 x2
log3 x + log3 x2 = log3 (x)(x2 ) = log3 x3 Se utilizó la propiedad 3 de los logaritmos.

41 Ejemplo: Sea Halle: Logb10 Logb8 Logb ½ Logb25b
Usa las propiedades!!!!

42 Soluciones al Ejemplo 1 Anterior
Logb10 = Logb(2)(5) = Logb2 +Logb5 = = .65 El 10 se escribe como un producto Se usa la tercera propiedad Sustituir los valores del logaritmo Sumar

43 Soluciones al Ejemplo 2 Anterior
Logb8 = Logb23 = 3Logb2 = 3(.23) = .69 El 8 se escribe como una potencia de 2 Se usa la quinta propiedad Sustituir el valor del logaritmo Multiplique

44 Soluciones al Ejemplo 3 Anterior
Logb(1/2) = Logb1 - Logb2 = = -.23 Se usa la cuarta propiedad Sustituir los valores del logaritmo Sumar

45 Soluciones al Ejemplo 4 Anterior
Logb25b = Logb25 + logbb = Logb52 + 1 = 2Logb5 + 1 = 2(.42) + 1 = 1.84 Se usa la tercera propiedad Se usa la quinta y segunda propiedad Sustituir el valor del logaritmo Sumar

46 Otro uso de las propiedades de los logaritmos: resolver ecuaciones logarítmicas
Resuelva log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2

47 Solución log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2 log 3 (x - 2)(x - 4) = 2
Usar propiedad 3 log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2 log 3 (x - 2)(x - 4) = 2 log 3 (x2 –6x + 8) = 2 (x2 –6x + 8) = 32 x2 –6x + 8 – 9 = 0 x2 –6x –1 = 0 Multiplicar los dos binomios Ecuación cuadrática Cambiar a la forma exponencial Igualar a cero Usar fórmula cuadrática para resolver la ecuación

48 Continuación del ejemplo
Obtenemos dos soluciones pero para este problema la única respuesta posible es la respuesta positiva ¿por qué?

49 De nuevo las ecuaciones exponenciales
Dijimos que 2x = 5 es una ecuación exponencial pero la técnica que habíamos estudiado para resolver la ecuación era poner las bases iguales. Sin embargo, en este ejemplo no lo podemos lograr. Por consiguiente, tenemos que estudiar otra técnica para resolver dichas ecuaciones.

50 Ecuaciones exponenciales
La técnica consiste en hallar el logaritmo (puede ser base 10 o base natural e) de esos números en ambos lados de la ecuación: 2x = 5 ecuación dada log 2x = log 5 Hallar el log a ambos lados

51 Ecuaciones Exponenciales
Resuelva 2x = 5 log 2x = log 5 x log 2 = log 5 Hallar el log a ambos lados Usar propiedad 5 Despejar para x, dividiendo entre log 2 Usar la calculadora para hallar los logaritmos

52 Ejemplo Resuelva Hallar el log a ambos lados Usar propiedad 5
Propiedad distributiva Reunir todas las x en un solo lado de la ecuación Factorizar la x Despejar para x dividiendo Usar calculadora

53 Aplicaciones Para estimar la edad de los huesos, los arqueólogos usan el isótopo 14C, el cual es radioactivo. La media vida de un isótopo es el tiempo que le toma a la mitad de la muestra dada desintegrarse. En el caso de 14C su media vida es 5730 años. Así que si en cierto momento una madera petrificada contiene 10 gramos de 14C le tomará 5730 años para que la madera sólo contenga 5 gramos. Cuando un organismo muere, la cantidad de 14C presente t años después de la muerte del organismo está dada por la fórmula.  A = A0ekt constante Cantidad al cabo de t años tiempo Cantidad original

54 Ejemplo ¿Qué por ciento de 14C permanece 4000 años después de muerto el organismo? Solución: Hagamos una tabla de valores con los datos dados. Recuerde que la variable independiente es t. tiempo A (cantidad 14C) A0 5730 ½ A0 4000 ? No sabemos la cantidad original La mitad del material al cabo de 5730 años (media vida) Desconocemos la cantidad

55 Solución K = -.00012 Sustituir valores de la tabla
Despejar para la base e Hallar logaritmo a ambos lados Propiedad de los logaritmos Propiedad de los logaritmos Despejar para k K =

56 Solución (continuación)
Una vez que conocemos el valor de k se regresa a la fórmula original para sustituir el valor de k y el valor de t, es decir: al cabo de 4000 años hay aproximadamente .618 de A0 o lo que es lo mismo hay 61.8% de A0.

57 FIN