Integrales indefinidas y problemas de valor inicial Ecuaciones diferenciales a variables separables Miriam Benhayón.

Presentación del tema: "Integrales indefinidas y problemas de valor inicial Ecuaciones diferenciales a variables separables Miriam Benhayón."— Transcripción de la presentación:

1 Integrales indefinidas y problemas de valor inicial Ecuaciones diferenciales a variables separables
Miriam Benhayón

2 MODELADO DE FENÓMENOS ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial contiene una función incógnita y una o más de sus derivadas ORDEN: es el que corresponde a la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación SOLUCIÓN: ES UNA FUNCIÓN QUE SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Miriam Benhayón

3 VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial separable presenta la siguiente forma: Se resuelve integrando a ambos miembros de la ecuación

4 EJERCICIOS Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: RPTAS:
1. y4 = 1/2 e2x+C 2. y2 = -(x2+1)1/2+2

5 EJERCICIOS Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: RPTAS:
1. y2 = 2lnx+2x+C 2. y = 2x2/(x2+1)

6 EJERCICIOS RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

7 Modelo de derrames (Aplicación de ecuaciones diferenciales)

8 dy/dt=(razón de entrada)-(razón de salida)
Consideraciones y(t) = cantidad de líquido en el interior de un tanque en un instante “t” cualquiera dy/dt=(razón de entrada)-(razón de salida)

9 PROBLEMA DE APLICACIÓN (1)
Se dispone de un tanque que contiene 150 litros de agua oxigenada. A causa de una fisura, el tanque pierde líquido a razón de (25-t2) litros/hora. Se desea averiguar la cantidad de líquido presente al cabo de 5 horas después de haberse iniciado el escape. pasos a seguir: Encuentre una expresión general para la cantidad de litros y(t) presentes en el tanque en un momento cualquiera. Halle el valor de la constante de integración con la condición inicial Determine los litros de agua que contendrá el tanque transcurridas 5 horas

10 Sumas de Riemann Integral Definida Teorema fundamental del Cálculo
Miriam Benhayón

11 PROBLEMA DEL ÁREA ¿Cómo determinar el área de una región de lados curvos? A través de aproximaciones… f(x) x b a A??

12 PROBLEMA DEL ÁREA Para estimar A dividiremos el área bajo la curva en rectángulos de igual ancho f(x) x b a f(x) ∆xk La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

13 PROBLEMA DEL ÁREA Aproximación del área por defecto
La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

14 PROBLEMA DEL ÁREA Aproximación del área por exceso
La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

15 INTEGRAL DEFINIDA- DEFINICIÓN
Si f(x) es continua definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f desde a hasta b es: Donde A es el área bajo la curva f(x) en el intervalo considerado y se calcula a través de la expresión conocida como la suma de RIEMANN

16 NOTACIÓN DE LEIBNITZ La integral definida es un NÚMERO
Límite superior de integración integrando Límite inferior de integración La integral definida es un NÚMERO

17 PROPIEDADES

18 Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f continua en [a,b], entonces: donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x), esto es: F ’ (x) = f(x)

19 EJERCICIO Encuentre, si es posible, el valor de la integral en cada caso

20 Modelo de derrames (Continuación…)

21 PROBLEMA DE APLICACIÓN (2)
una piscina

22 PROBLEMA DE APLICACIÓN (3)

23 PROBLEMA DE APLICACIÓN (4)