TEMA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LIC. SUJEY HERRERA RAMOS.

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1 TEMA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

2 Derivada de la función compuesta Regla de la cadena Ejemplos de derivadas de funciones compuestas 10

3 Derivada de la función inversa Si f y g son funciones inversas, es decir. Entonces Ejemplos de derivadas de funciones inversas Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x Derivada de la función potencial-exponencial Estas funciones son del tipo: Para derivarla se puede utilizar esta fórmula: O bien tomamos logaritmos y derivamos: 11

4 ........ Ejemplos de derivadas de funciones potenciales-exponenciales Derivar tomando logaritmos:.. Derivadas sucesivas Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x). Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x). Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v y así sucesivamente. Ejemplo: Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de: 4

5 Derivada enésima En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f' n (x). Ejemplo: Calcula la derivada enésima de: 5

6 Derivación implícita Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'. Ejemplos: Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo: 6

7 Diferencial de una función Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy. La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable. Ejemplo: Calcular la diferencial de las funciones: 7

8 Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado. S = x 2 dS = 2x dx d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m 2 8

9 Tabla de derivadas de funciones compuestas 9 FunciónDerivadaEjemplos Constante y=ky=ky'=0y'=0y=8y=8y'=0y'=0 Identidad y=xy=xy'=1y'=1y=xy=xy'=1y'=1 Funciones potenciales Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

10 10 Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas

11 11