RELACIONES INTEGRALES

Presentación del tema: "RELACIONES INTEGRALES"— Transcripción de la presentación:

1 RELACIONES INTEGRALES

2 Gradiente de un campo escalar
Definición: El gradiente es evidentemente una función vectorial puntual (campo vectorial). La definición anterior, tiene varias propiedades: es independiente de cualquier elección especial del sistema de coordenadas y puede utilizarse para encontrar la forma explícita del operador en cualquier sistema particular de coordenadas.

3 Forma explícita del gradiente de un campo escalar
Definimos el operador gradiente como:

4 Teorema de Green Demostraremos que:
Considérese que el volumen se divide en un gran número de pequeñas celdas. Puesto que el sentido hacia afuera para una celda es el sentido hacia dentro de la celda adyacente apropiada todas las contribuciones del lado izquierdo de la ecuación anterior se anulan excepto aquellas que provienen de la superficie , lo que demuestra la fórmula anterior.

5 Llamando:

6 Operadores sobre un campo vectorial
1) Divergencia: 2) Gradiente: 3) Rotacional: 4) Operador general:

7 Forma explícita del operador “ * ”
Sea el vértice del cubo más cercano al origen

8 Forma explícita de los operadores
1) Operador general 2) Divergencia 3) Gradiente 4) Rotacional

9 Teorema general Demostraremos que:
Considérese que el volumen se subdivide en un gran número de pequeñas celdas. Puesto que el sentido hacia afuera para una celda es el sentido hacia dentro de la celda adyacente apropiada todas las contribuciones del lado izquierdo de la ecuación anterior se anulan excepto aquellas que provienen de la superficie , lo que demuestra la fórmula anterior.

10 Llamando Cuando el número de celdas tiende a infinito, se tiene: Y el límite de la suma es la integral sobre el volumen:

11 Teorema de la divergencia
Un caso particular del teorema probado anteriormente es el teorema de la divergencia o de Gauss En notación vectorial En notación indicial

12 Teorema del gradiente Otro caso particular del teorema general es el del gradiente En notación vectorial En notación indicial

13 Teorema del rotacional
El último caso particular del teorema es el del rotacional En notación vectorial En notación indicial

14 Aplicación del Teorema de la Divergencia
Tomando en el teorema de la divergencia se tiene: Se define derivada normal como: En notación vectorial En notación indicial

15 Divergencia de un tensor
Definición:

16 Aplicación a la teoría de la Elasticidad
Ecuación de Navier:

17 Primer identidad de Green

18 Segunda identidad de Grenn
Intercambiando por Restando

19 Integración por partes

20 Ecuación de Poisson

21 Integración por partes en la ecuación de Poisson

22 Teorema de reciprocidad en la ecuación de Poison

23 Teorema de trabajo y energía en elasticidad

24 Teorema de reciprocidad de Betti