Unidad 6. Capítulo I. Introducción.

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1 Unidad 6. Capítulo I. Introducción.

2 U-6. Cap. I Introducción. En la solución de ecuaciones diferenciales lineales se han considerado aquellas con coeficientes constantes, debido a su amplia variedad de aplicaciones y a que se resuelven sistemáticamente en términos de funciones elementales tales como exponenciales, trigonométricas y logarítmicas. Se tiene ahora un nuevo reto: la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Este tipo de ecuaciones rara vez pueden resolverse en términos de funciones elementales, por lo que requieren del uso de otros métodos de resolución.

3 U-6. Cap. I Introducción. El método de series de potencias es uno que se usa con bastante éxito para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. Este método, en general, se usa para encontrar soluciones exactas o aproximadas de ecuaciones lineales o no, con coeficientes constantes o variables. En esta unidad se discute la aplicación del método de series de potencias a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables, que pueden expresarse en la forma:

4 U-6. Cap. I Introducción. Este tipo de ecuaciones se presentan con frecuencia en física e ingeniería y su resolución a través del método de series de potencias está bien desarrollado. Análogo al caso de coeficientes constantes, los procesos de resolución explicados en esta unidad aplican también a ecuaciones lineales de orden superior. La solución de la ecuación se expresa en términos de una serie infinita con coeficientes ajustables, cuya evaluación en un punto requeriría calcular una cantidad infinita de ellos, en la practica es suficiente hacerlo con un número finito de términos de la serie, cuando ésta es convergente.

5 U-6. Cap. I Introducción. No existe un procedimiento general para aplicar este método ni todas las ecuaciones se pueden resolver en forma sencilla usando este método. Por es necesario clasificar las ecuaciones y desarrollar procedimientos aplicables a cada una de ellas. Las ecuaciones con coeficientes P(x) y Q(x) continuos se pueden resolver en una forma relativamente sencilla y clara; es decir, si se observa la existencia de cualquier complicación en el proceso de resolución de una ecuación, esto se debe a la presencia de puntos singulares o discontinuos de los coeficientes P y Q.