Unidad 5. Capítulo VI. Sistemas lineales no homogéneos.

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1 Unidad 5. Capítulo VI. Sistemas lineales no homogéneos.

2 donde el vector f (t) es el término no homogéneo.
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Considere ahora el siguiente sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales: donde el vector f (t) es el término no homogéneo. El 1er paso en la resolución de estos sistemas consiste en obtener la solución homogénea xh, resolviendo el sistema asociado: El siguiente paso es determinar la solución particular xp que corresponde al vector no homogéneo f(t) aplicando el método de coeficientes indeterminados o el de variación de parámetros.

3 U-5. Cap. VI. Sistemas lineales no homogéneos.
La solución general del sistema no homogéneo se obtiene sumando las soluciones homogénea y particular como se establece en el siguiente teorema. Si xp es una solución particular del sistema no homogéneo: y xh es la solución general de su sistema homogéneo asociado en un intervalo t1 < t < t2 en el cual los elementos de la matriz A y del vector f son continuos, la solución general de este sistema no homogéneo en ese intervalo es: donde C1, C2, …, Cn son constantes arbitrarias y x1, x2, …, xn son n soluciones linealmente independientes.

4 será la solución general del sistema no homogéneo.
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Por tanto, una vez que se ha obtenido la solución general del sistema homogéneo asociado, todo lo que se requiere hacer es determinar una solución particular xp que satisfaga el sistema no homogéneo dado. Entonces, la suma: será la solución general del sistema no homogéneo. Si el término no homogéneo f (t) incluye varios términos, se puede aplicar el principio de superposición a la solución particular.

5 Método de coeficientes indeterminados.

6 U-5. Cap. VI. Sistemas lineales no homogéneos.
El método de coeficientes indeterminados, es idéntico al que se usa en ecuaciones individuales, es decir, consiste en hacer una conjetura razonada de la forma general de una solución particular xp y determina tales coeficientes a partir de que xp satisfaga el sistema no homogéneo. En este caso se debe considerar que los coeficientes son vectores constantes en lugar de escalares constantes. Al decidir la forma general de la solución particular de un sistema no homogéneo, conviene expresar los términos no homogéneos uniformemente como una suma de las funciones con los coeficientes vectoriales constantes.

7 Por ejemplo, los términos no homogéneos del sistema:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Por ejemplo, los términos no homogéneos del sistema: se pueden expresar como: y la forma apropiada de xp será:

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que incluye nueve coeficientes indeterminados. Observe que la forma general de la solución particular incluye todos los términos no homogéneos en el sistema dado. Los términos no homogéneos incluidos en xh se manejan en forma diferente. La forma básica de xp se multiplica por todas las potencias menores de t, incluyendo la potencia cero. Es decir, la forma básica de xp se multiplica por un polinomio de grado k en t. Por ejemplo, si et estuviera incluida en xh, la forma correcta de xp tendría la forma:

9 Ejemplo: Determine la solución general del sistema:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Ejemplo: Determine la solución general del sistema: Solución: Sistema de dos ecuaciones lineales no homogéneas de 1er orden, que puede expresarse en forma matricial como: Su solución general, por tanto, tendrá la forma:

10 Solución del sistema homogéneo: valores característicos.
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Solución del sistema homogéneo: valores característicos. Vectores característicos asociados: así que la solución complementaria es:

11 Al sustituir estas relaciones en el sistema se obtiene:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Los términos no homogéneos son et y 1; como et también está en xc, se supone, como una forma apropiada de xp: y su derivada: en donde: Al sustituir estas relaciones en el sistema se obtiene:

12 e igualando términos semejantes:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. e igualando términos semejantes: en donde, de la 1ª ecuación se obtiene: La 2ª ecuación, equivalente a (A  I) a = 0, es la del vector característico de A correspondiente a l = 1:

13 Entonces la solución general del sistema es:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Se puede probar que la 3ª ecuación matricial se reduce a una sola ecuación escalar: y haciendo b1 = 0, se obtiene b2 = 1/3. A partir de estas decisiones, la solución particular puede expresarse como: Entonces la solución general del sistema es:

14 La solución también puede expresarse en la siguiente forma escalar:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. La solución también puede expresarse en la siguiente forma escalar: La validez de estas soluciones puede verificarse mediante su sustitución directa en el sistema de ecuaciones dado y demostrando que satisfacen cada una de las ecuaciones.

15 Método de variación de parámetros.

16 U-5. Cap. VI. Sistemas lineales no homogéneos.
Cuando los elementos de la matriz de coeficientes A(t) del sistema no homogéneo: no son constantes o f(t) incluye funciones distintas a polinomios, funciones exponenciales y/o circulares, no se puede aplicar el método de coeficientes indeterminados. En tales casos, es necesario usar el método variación de parámetros, que resulta ser un método natural para los sistemas y como se ilustra a continuación da como resultado una formulación relativamente sencilla.

17 El 1er paso consiste en considerar el sistema homogéneo asociado:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. El 1er paso consiste en considerar el sistema homogéneo asociado: y determinar su solución general xh, constituida por n vectores linealmente independientes y n constantes arbitrarias: Esta solución también puede expresarse en términos de la matriz fundamental Y, matriz cuyas columnas son los n vectores solución linealmente independientes, en la forma:

18 Al derivar la expresión para xp y sustituir en el sistema se obtiene:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. El método de variación de parámetros se basa en la suposición de que xp reemplaza el vector constante c por un vector función desconocido u(t), en xh. donde el vector u(t) se determina a partir de que xp debe satisfacer el sistema no homogéneo, como se muestra a continuación. Al derivar la expresión para xp y sustituir en el sistema se obtiene:

19 ya que Y(t) satisface el sistema homogéneo asociado, y la
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. pero: ya que Y(t) satisface el sistema homogéneo asociado, y la ecuación se reduce a: Y(t) es una matriz no singular en un intervalo en el que A(t) es continua, entonces Y-1(t) existe y, al multiplicar la expresión anterior por la inversa Y-1(t) se tiene: con lo que u(t) se puede obtener, con un vector constante arbitrario k, mediante integración.

20 entonces, la solución particular tiene la forma:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. entonces, la solución particular tiene la forma: luego, la solución general del sistema no homogéneo se obtiene sumando las soluciones particular y homogénea: o bien, combinando los vectores C y k en un solo vector C, sin pérdida de generalidad:

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Ejemplo: Usando el método de variación de parámetros determine la solución general del sistema: Solución: Este sistema fue resuelto anteriormente usando el método de coeficientes indeterminados. Nuevamente se expresa en la siguiente forma matricial: y los dos vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo asociado se determinaron como:

22 Por tanto, la matriz fundamental del sistema homogéneo asociado es:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Por tanto, la matriz fundamental del sistema homogéneo asociado es: y su inversa:

23 U-5. Cap. VI. Sistemas lineales no homogéneos.
La solución particular usando el método de variación de parámetros, ignorando la constante de integración es: donde: es decir:

24 Esta solución también puede expresarse en la siguiente forma escalar:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Entonces la solución general del sistema se determina sumando las soluciones homogénea y particular: Esta solución también puede expresarse en la siguiente forma escalar:

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la validez de estas soluciones se puede verificar mediante su sustitución en el sistema de ecuaciones y demostrando que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema. Obsérvese que el método de variación de parámetros proporciona la solución particular de manera sistemática y precisa. La solución general recién calculada es idéntica a la que se obtuvo con el método de coeficientes indeterminados, excepto porque las constantes en las dos soluciones difieren en 1/3, lo que no tiene consecuencias.

26 Sistemas no homogéneos de problemas de valor inicial.

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El método de variación de parámetros es adecuado para resolver sistemas no homogéneos de problemas de valor inicial lineales porque puede incorporar en forma directa las condiciones iniciales. La solución general de sistemas homogéneos expresada en términos de la matriz fundamental Y(t) es: donde C es el vector de constantes arbitrarias. Si se multiplica esta ecuación por Y1(t) y se evalúa en t = t0, se determinó el vector C como:

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donde x0 = x(t0) es el conjunto específico de condiciones iniciales. Así, la solución general de sistemas de PVI homogéneos se expresa: Esta relación no es aplicable a sistemas no homogéneos, ya que las constantes arbitrarias deben determinarse aplicando las condiciones iniciales de toda la solución, a menos que la solución particular sea nula en t = t0. Tal relación se puede usar para obtener las constantes arbitrarias en sistemas no homogéneos siempre y cuando la solución particular sea cero en t = t0.

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La solución particular obtenida a través del método de variación de parámetros incluye una integral indefinida con un vector constante arbitrario k. También se demostró que es posible decidir este vector sea nulo o cualquier vector constante conveniente sin pérdida de generalidad alguna. Al resolver sistemas de PVI, es mejor elegir k de manera que haga que la solución particular sea cero en t = t0, lo que se consigue expresando la integral indefinida como una integral definida entre los límites t0 y t como:

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lo que asegura que xp = 0 en t = t0, ya que toda integral definida con límites inferior y superior idénticos es cero. Finalmente, la solución de un sistema no homogéneo de problemas de valor inicial puede expresarse en la forma: Por tanto, una vez conocida la matriz fundamental Y(t) del sistema homogéneo asociado, se puede determinar la solución de un sistema de ecuaciones no homogéneas sujetas a las condiciones iniciales x(t0) = x0.

31 Ejemplo: Determine la solución del siguiente sistema de PVI.
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Ejemplo: Determine la solución del siguiente sistema de PVI. Solución: La solución general del sistema se obtuvo en un ejemplo anterior, al sustituir las condiciones iniciales en ella resulta C1 = 2 y C2 = 1/6. Entonces la solución particular del PVI dado resulta:

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Este resultado se puede obtener directamente una vez que se dispone de la matriz fundamental Y(t) del sistema homogéneo asociado, como se muestra a continuación: Las condiciones iniciales y los términos no homogéneos se pueden expresar en forma matricial como: haciendo t0 = 0, la solución del sistema dado se determina en la forma:

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34 Finalmente: y en forma escalar:
U-5. Cap. VI Sistemas lineales no homogéneos. Finalmente: y en forma escalar: En este procedimiento, observe que la incorporación de las condiciones iniciales de manera predeterminada permite obtener automáticamente la solución particular.