U-4. Cap. III. Existencia y unicidad de soluciones.

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1 Unidad 4. Capítulo III. Existencia y unicidad de la solución de PVI de 2° orden.

2 U-4. Cap. III. Existencia y unicidad de soluciones.
La existencia y unicidad de la solución de problemas de valor inicial lineales de segundo orden se expresa mediante el siguiente teorema. Si las funciones p(x), q(x) y r(x) son continuas en un intervalo x1 < x < x2, y x0 es cualquier punto dentro de este intervalo, entonces la ecuación diferencial: tiene, en el mismo intervalo, una solución única (y sólo una) que satisface las siguientes condiciones iniciales:

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El teorema asegura que la búsqueda de la solución acaba una vez que se obtiene una función que satisfaga la ecuación diferencial y sus condiciones iniciales. Es decir, no existe otra función que las cumpla, como se ilustra en el siguiente ejemplo: Demuestre que el problema de valor inicial dado tiene una solución única y determine el intervalo de dicha solución:

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Solución: Las funciones q(x) = 5 y r(x) = cos x  2 son continuas en R, pero p(x) = 3x/(x  1) es discontinua en el punto x = 1. Por tanto p(x) es continua en (, 1)(1, ). Considerando que las condiciones iniciales se especifican en x0 = 5 (que está en el segundo intervalo) el teorema en cuestión garantiza que este problema de valor inicial tiene una solución única en el intervalo 1 < x < .

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Es necesario distinguir entre la solución de una ecuación diferencial y una solución de un problema de valor inicial. Una ecuación diferencial de segundo orden incluye y’’, por lo que implica dos integraciones y dos constantes C1 y C2 arbitrarias que pueden adoptar cualquier valor real, una ecuación diferencial lineal de segundo orden tendrá un número infinito de soluciones diferentes. Un problema de valor inicial incluye los valores de y0 y y’0 en un valor dado x0, por lo que de entre el infinito número de curvas de solución, una y sólo una de ellas satisfará las condiciones iniciales especificadas.

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En el caso en que las condiciones se especifican en puntos diferentes, por ejemplo en x1 y x2 se tiene un problema de valor a la frontera (PVF). El teorema no asegura que este problema tenga solución única, ni siquiera que tenga una solución. Sin embargo, bastará con decir que un problema de valor a la frontera tendrá una solución única sólo cuando las dos condiciones permitan obtener valores únicos para las constantes arbitrarias C1 y C2. Por ejemplo:

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La distribución de temperatura en una pared plana de espesor L que se muestra en la figura, bajo condiciones estacionarias, está regida por la ecuación diferencial de segundo orden T´´ = 0, donde T representa la temperatura de la pared en la ubicación x. Pared plana Conducción del calor Calor que entra Calor que sale T(0): Temperatura superficial T(L): Temperatura superficial L

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Determine la solución general (es decir, la distribución de temperatura en la pared) y la solución específica para los siguientes casos: a) Condiciones iniciales T(0) = 10 y T’(0) = 5. b) Condiciones a la frontera T(0) = 10 y T(L) = 0. c) Condiciones a la frontera T’(0) = 5 y T’(L) = 10. d) Condiciones a la frontera T’(0) = 5 y T’(L) = 5. Solución: Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con funciones p(x) = q(x) = r(x) = 0, continuas en todo el eje x (por tanto, matemáticamente, la solución no está limitada a ningún intervalo finito).

9 Al aplicar dos integraciones sucesivas se tiene:
U-4. Cap. III. Existencia y unicidad de soluciones. Sin embargo, esta ecuación describe la distribución de temperatura en el medio 0 ≤ x ≤ L; por lo que la búsqueda de la solución se limita a este intervalo. Al aplicar dos integraciones sucesivas se tiene: Solución análoga a la ecuación de una recta con pendiente C1 y ordenada al origen C2, por lo que cualquiera de ellas cumple con la ecuación diferencial. Las líneas de solución pueden intersectarse entre sí (diferentes soluciones pueden ser iguales en un punto), pero nunca tienen la misma pendiente en ese punto.

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a) La solución que satisface las condiciones iniciales especificadas se obtiene aplicando las dos condiciones a la solución general y despejando C1 y C2. T L x Por tanto: C2 De acuerdo con el teorema, ésta es la solución única del PVI especificado, es decir, ninguna otra línea de solución satisface ambas condiciones iniciales. 10

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b) La solución que satisface las condiciones a la frontera especificadas se obtiene aplicando las dos condiciones a la solución general para obtener C1 y C2. Por tanto: nuevamente, la solución única es una recta. Esta solución corresponde, físicamente, con el caso que establece la temperatura de la pared en ambas superficies.

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c) La solución que satisface las condiciones a la frontera especificadas se obtiene aplicando las dos condiciones a la derivada de la solución general para obtener C1 y C2. Esto es imposible, ya que ningún parámetro, C1 incluido, puede adoptar simultáneamente dos valores distintos. Por tanto, este PVF no tiene solución ya que físicamente significa que cualquier suministro de calor en ambos lados hace que la temperatura de la pared permanezca constante, lo que nunca sucederá.

13 no es una solución única dado que C2 es arbitraria.
U-4. Cap. III. Existencia y unicidad de soluciones. d) La solución que satisface las condiciones a la frontera especificadas se obtiene aplicando las dos condiciones a la derivada de la solución general para obtener C1 y C2. Por tanto: no es una solución única dado que C2 es arbitraria. Físicamente, el problema requiere que el flujo de calor suministrado a la pared en x = 0 sea igual al que se retira en x = L, información que resulta insuficiente para conocer la distribución de temperatura en la pared.