ESCUELA: NOMBRES: ÁLGEBRA FECHA: Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL /AGOSTO

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1 ESCUELA: NOMBRES: ÁLGEBRA FECHA: Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL /AGOSTO 2009 1

2 CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE) 1.Conceptos fundamentales del Álgebra. 2.Ecuaciones y desigualdades. 3.Funciones y gráficas. 4.Funciones polinomiales y racionales. 5.Funciones exponenciales y logarítmicas.

3 3 1.Conceptos fundamentales del Álgebra Numeros complejos Números reales Números racionales Enteros Negativos0Positivos Números irracionales R C Q Q΄Q΄ Z Z-Z- Z⁺Z⁺ Números reales

4 Recta de números reales 4 0 1 ⁄2 1 23 ∏ R-R- R⁺R⁺ Notación científica a= c x 10 n, donde 1<=c<10 y n es un entero 412 en notación científica es 4.12 X 10 2 0.000000098 en notación científica es 9.8 X 10 -8 Ejemplo:

5 Exponentes 5 Leyes a 0 = 1 (a/b) n = a n /b n a -n = 1/a n a m /a n = a m-n a m a n = a m+n a m /a n = 1/a n-m (a m ) n = a mn a -m /b -n = b n / a m (ab) n = a n b n (a/b) - n = (b/a) n

6 Radicales 5 Leyes n √ a.b = n √ a n √ b n √ (a/b) = n √ a / n √ b m √ n √ a = mn √ a Exponentes racionales a 1/n = n √ a a m/n = ( n √ a) m = n √ a m

7 7 Expresiones algebraicas Monomio ax n Polinomio a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 Operaciones: Suma Resta Multiplicación División

8 8 Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) Fórmulas de factorización ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 ) Expresiones fraccionarias Cociente El denominador es cero si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3 Expresiones racionales

9 Ecuaciones  Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol.  Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax 2 +bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática. 9 2.Ecuaciones y desigualdades

10 Otro tipo de ecuaciones como son:  Ecuaciones con valor absoluto.  Solución de una Ecuación por agrupación.  Ecuaciones con exponentes racionales  Ecuaciones con radicales 10

11 11 Desigualdades (Inecuaciones) Infinito número de soluciones. Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas Desigualdad con valor absoluto Propiedades |a| < b equivale a –b < a < b |a| > b equivale a a b

12 12w 3.Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares III IIIIV P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1, y 2 +y 1 2 2

13 13 Gráfica de ecuaciones Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

14 14 Rectas La ecuación de la recta tiene la forma ax + by = c La pendiente de la recta es M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2

15 Definición de función Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Variables:  x se denomina variable independiente.  Y se denomina variable dependiente. 15

16 16 Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f(b) > f(a) siempre que b > a en el intervalo I. f es decreciente en I si f(b) < f(a) siempre que b < a en el intervalo I. f es constante en I si f(b) = f(a) siempre que b = a en el intervalo I. Función creciente, decreciente o constante

17 17 Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

18 Al reemplazar la variable x por –x: Si f(-x) = f(x) la función es par Si f(-x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen 18 Paridad de una función Operaciones con funciones Suma, resta, multiplicación y división función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))

19 4. Funciones polinomiales y racionales Funciones polinomiales de grado mayor que 2. Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto a n son cero entonces: f(x)=ax n en donde a=a n ≠0 Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen Si n es par es una función par por tanto simétrica respecto a y 19 Guía para trazar la gráfica de una función polinomial revise pág49 de la guía didáctica

20 20 Tienen la forma f(x) = g(x) donde h(x) ≠ 0 h(x) Teorema asíntotas horizontales: R(x)= a m x m +.......+a 1 x+a 0 b n x n +.......+b 1 x+b 0 donde a m,b n ≠0 1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m =n, la recta y=a m b n es una asíntota horizontal. 3.- Sí m > n, no hay asíntotas. Funciones racionales. Guía para trazar la gráfica de una función racional, pág. 295, texto base

21 21 5. Funciones exponenciales y logarítmicas Función exponencial Tienen la forma f(x)=a x En donde x es cualquier número real. Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales. Función exponencial natural La base e.- el número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=e x

22 22 Función logarítmica La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por log a Sus valores se representan como log a (x) o como log a x, puesto que: f −1 (x) sí y solo sí x=f(y) La definición de log a se puede expresar de la siguiente manera: y=log a (x) sí y solo sí x=a y Ecuaciones exponenciales y logarítmica Para resolver este tipo de ecuaciones se usan las propiedades y leyes de los logaritmos Desarrollo de cada uno de los temas con ejercicios que se desarrollaran en la tutoría virtual

23 Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ecrpblacio@utpl.edu.ec 23

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