Problemas Resueltos de Ínfimos y Supremos. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución Usa los comandos de Maple > A := unapply((n^2+(-1)^n*n+1)/(n^2+(-1)^(n+1)*n+2),n); > for k to 10 do evalf(A(k));od; para escribir los 10 primeros términos de la sucesión A. La aproximación (hasta las milésimas) de los términos es: 0.250, 1.750, 0.500, 1.500, 0.656, 1.343, 0.741, 1.258, 0.793, 1.206. Los términos impares forman una sucesión creciente y los términos pares una sucesión decreciente. Además, los términos pares son más peqeños que los impares. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución (continuación) Si suponemos que la observación anterior sobre los términos pares e impares es cierta, sup(A)= 1¾ y inf(A) = ¼. Falta demostrar que los términos impares de A forman una sucesión creciente y los pares una sucesión decreciente. Suponiendo que la función A está definida para Maple, usa los comandos de Maple > assume(n,posint); > simplify(A(2*n+2)-A(2*n)); para calcular la diferencia de dos términos de la subsucesión de los términos pares del conjunto A. Maple necesita esta información para simplificar correctamente. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución (continuación) Una vez que obtenemos que concluimos que A(2n+2) – A(2n) es siempre negativo. Por lo tanto los términos pares de la sucesión A forman una sucesión decreciente. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución (continuación) De la misma forma obtenemos Por lo que concluimos que A(2n + 3) – A(2n + 1) es siempre positivo. Por lo tanto los términos impares de la sucesión A forman una sucesión creciente. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución (continuación) Conclusión Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Números reales/Completitud/Problemas resueltos. Sup y Inf Problema 1 Solución (continuación) Hemos demostrado que los términos impares de la sucesión A forman una sucesión creciente de límite 1. También hemos demostrado que los términos pares de la sucesión A forman una sucesión decreciente con límite 1. En esta gráfica los términos pares están representados por los puntos azules y los impares por los rojos. Conclusión: sup(A) = A(2) = 7/4 y inf(A) = A(1)=1/4. Números reales/Completitud/Problemas resueltos.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä