Problemas Resueltos del Teorema del Valor Medio Corolarios del Teorema del Valor Medio Funciones Crecientes ¿Se verifica el Teorema del Valor Medio? Derivadas Crecientes Problemas resueltos Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema El Teorema del valor medio gráficamente a c b El teorema también se puede escribir como f’(c) = (f(b) – f(a) )/ (b – a). Por lo tanto el Teorema del valor medio asegura que entre a y b existe un punto c tal que la tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela al segmento que une los puntos(a,f(a)) y (b,f(b)). Problemas resueltos Teorema del valor medio

Corolarios del Teorema del Valor Medio 1 Si f’(x) = 0 en todo su dominio, que debe ser un intervalo, entonces f es una función constante. 2 Si f’(x) > 0 para todo x exceptuando un número finito de valores de x, entonces f es creciente. 3 Si f’(x) < 0 para todo x exceptuando un número finito de valores de x, entonces f es decreciente. Problemas resueltos Teorema del valor medio

Problemas resueltos Teorema del valor medio Funciones Crecientes Demostrar que la función f(x) = x + sen x es creciente en todo su dominio. Problema Solución f’(x) = 1 + cos x ≥ 0 para todo x. Además, la derivada se anula sólo si x = (2n+1), n  Z. Por lo tanto, podemos afirmar que la función f es creciente en todo su dominio. f(x) = x + sen x Problemas resueltos Teorema del valor medio

¿Se verifica el Teorema del Valor Medio? Problema Sea f(x) = x-2 . Demostrar que no existe un número c, -1 < c < 1, tal que f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1)). ¿Contradice esto el Teorema del Valor Medio? Solución Calculamos la derivada: f’(x) = -2x-3 . f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1))  1 – 1 = 2f’(c)  f’(c) = 0  -2c-3 = 0. La última ecuación no tiene ninguna solución. Por lo tanto, no existe un número c que satisfaga la condición del Teorema del Valor Medio en el intervalo (-1,1). Problemas resueltos Teorema del valor medio

¿Se verifica el Teorema del Valor Medio? Sea f(x) = x-2 . Demostrar que no existe un número c, -1 < c < 1, tal que f(1) – f(-1) = f’(c) (1 – (-1)). ¿Contradice esto el Teorema del Valor Medio? Problema Solución (cont.) La observación anterior significa que la recta tangente a la gráfica de la función f, la curva roja, no es horizontal nunca. Por lo tanto, la recta tangente nunca es paralela a la recta azul del dibujo. Esto no contradice el Teorema del Valor Medio ya que la función no está definida en x = 0. Por lo tanto, la función no satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio. Problemas resueltos Teorema del valor medio

Problemas resueltos Teorema del valor medio Derivadas Crecientes Supongamos que f es derivable en el intervalo (a,b), y que f’(x) es creciente. Demostrar que la gráfica de f está siempre por encima de sus rectas tangentes. Problema Solución La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) es y – f(c) = f’(c)(x – c)  y = f’(c)x – f’(c)c + f(c). c x f(x) f’(c)x – f’(c)c + f(c) Para demostrar que la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes, tenemos que demostrar que: f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c) para todo x. Problemas resueltos Teorema del valor medio

Problemas resueltos Teorema del valor medio Derivadas Crecientes Supongamos que f es derivable en el intervalo (a,b), y que f’(x) es creciente. Demostrar que la gráfica de f está siempre por encima de sus rectas tangentes. Problema Solución (cont.) Por las observaciones anteriores, la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes, para todo x, f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c)  f(x) – f(c) ≥ f’(c) (x – c). Supongamos que x > c. Por el Teorema del Valor Medio, existe un número d, c < d < x tal que f(x) – f(c) ≥ f’(d) (x – c). Como la derivada es creciente, f’(d) > f’( c). Por lo tanto, f(x) – f(c) = f’(d) (x – c) ≥ f’(c) (x – c). Esto prueba que la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes para los puntos que no son los puntos de tangencia. El mismo razonamiento se aplica para x  c. Problemas resueltos Teorema del valor medio

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä