El conjunto de los números reales es Completo Completitud de los Números Reales Supremo (Sup) e Ínfimo (Inf) Caracterización del Sup y del Inf Los números reales/ Completitud de los números reales

Cota Superior e Inferior Todos los conjuntos que trataremos en esta presentación contienen algún elemento. Definición Un número M es una cota superior de un conjunto A si, para todos los elementos a de A, a ≤ M. Observación Un conjunto A puede no tener cota superior. El conjunto A está acotado superiormente si A tiene una cota superior finita. Los números reales/ Completitud de los números reales

Cota Superior e Inferior Definición Un número m es una cota inferior de un conjunto A si, para todos los elementos de A, a ≥ m. El conjunto A está acotado inferiormente si A tiene una cota inferior finita. El conjunto A está acotado si lo está superior e inferiormente. Los números reales/ Completitud de los números reales

Cotas de Enteros, Racionales y Reales Observaciones Todo conjunto no vacío de números reales, con un número finito de elementos, está acotado. Entre los elementos de un conjunto finito existe siempre un elemento mayor y otro menor que todos los demás. 1 Todo conjunto no vacío de números enteros, acotado superiormente, tiene siempre un elemento superior a los demás que es también un entero. Éste es la menor cota de dicho conjunto. 2 Los números reales/ Completitud de los números reales

Cotas de Enteros, Racionales y Reales Observaciones 3 Considerar el conjunto de números reales A = {r | r2 ≤ 2}. Este conjunto claramente está acotado superior e inferiormente. El conjunto de las cotas superiores racionales de los elementos de A no tiene un elemento inferior a todos los demás. Esto es debido al hecho de que no es racional. ¡Esto significa que el conjunto de los números racionales no es completo! Los números reales/ Completitud de los números reales

Supremo Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. Completitud de los Números Reales El conjunto A tiene una cota superior menor a las demás cotas superiores. Definición La cota superior más pequeña del conjunto A se llama el supremo del conjunto A. Notación sup(A) = el supremo del conjunto A. Los números reales/ Completitud de los números reales

Los números reales/ Completitud de los números reales Supremo Ejemplo sup {–1,1,2,5} = 5. Sea A = { 1 – 2-n | n natural }. Entonces sup(A) = 1. Los números reales/ Completitud de los números reales

Ínfimo Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente. Completitud de los Números Reales El conjunto A tiene una cota inferior mayor a las demás cotas inferiores. Definición La cota inferior mayor del conjunto A se llama el ínfimo del conjunto A. Notación inf(A) = el ínfimo del conjunto A. Los números reales/ Completitud de los números reales

Los números reales/ Completitud de los números reales Ínfimo Ejemplo inf {–1,1,2,5} = –1 . Sea A = { 1 + 2-n | n natural}. Entonces inf(A) = 1. Los números reales/ Completitud de los números reales

Caracterización del Supremo Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: 1. 2. Demostración Supongamos que s = sup( A ). Como s es una cota superior del conjunto A, la condición 1 se cumple. Los números reales/ Completitud de los números reales

Caracterización del Supremo Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: 1. 2. Demostración (continuación) Para comprobar que la condición 2 también se cumple, supongamos que es falsa. Entonces existe un número positivo ε tal que no existen elementos a del conjunto A con |s – a| < ε. Entonces s – ε es también una cota superior de A. Esto es imposible, ya que s es la cota superior más pequeña del conjunto A. Los números reales/ Completitud de los números reales

Caracterización del Supremo Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: 1. 2. Demostración (continuación) Supongamos ahora que s cumple las condiciones 1 y 2. Tenemos que demostrar que s es la cota superior mínima del conjunto A. La condición 1 implica que s es una cota superior de A. Los números reales/ Completitud de los números reales

Caracterización del Supremo Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: 1. 2. Demostración (continuación) Para demostrar que s es la cota superior mínima, suponemos que no lo es. Entonces existiría una cota superior t de A, t < s. Por lo tanto s – t > 0. Por tanto s no cumpliría la condición 2 para ε = s – t. Los números reales/ Completitud de los números reales

Caracterización del Ínfimo Teorema r = Inf( A ) sí y sólo si: 1. 2. Los números reales/ Completitud de los números reales

Usando las Caracterizaciones Definición Para un conjunto A, A ⊂ R, se define 2A por Enunciado Suponiendo que sup( A ) < ∞, sup( 2A ) = 2sup( A ). Los números reales/ Completitud de los números reales

Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). Demostración usando: Teorema s = sup( A ) sí y sólo si: 1. 1. 2. Los números reales/ Completitud de los números reales

Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). Demostración a ≤ sup( A ) de donde 2a ≤ 2sup( A ) Por tanto 2 sup( A ) ≥ sup( 2A ). Los números reales/ Completitud de los números reales

Usando las Caracterizaciones Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ). Demostración Sea ε > 0. Tenemos que demostrar que tal que |2sup( A ) – 2a | < ε. Como ε/2 > 0, tal que |sup( A ) – a | < ε /2. Multiplicando por 2 obtenemos |2sup( A ) – 2a | < ε. Ésto demuestra el enunciado. Los números reales/ Completitud de los números reales

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä